Неравенство с произведением логарифмов? У логарифмов разные основания и подлогарифмические выражения? Расскажу, как очень просто решать такие уравнения.
Многие ученики, увидев логарифмическое неравенство, пытаются решать его методом интервалов и получают ошибочные ответы. Потому что у него есть подводные камни, так как он предназначен для рациональных неравенств. Чтобы этих сложностей избежать, мы разберем метод рационализации. Будем решать вот такое неравенство:
Если у вас есть другое решение, то поделитесь им в комментариях.
Метод рационализации основан на одной очень простой теореме. Мы, сегодня, примем ее истинность без доказательства. Но, на просторах интернета можно с ним ознакомиться. Если будет интересно - можем разобрать его на канале.
Эта теорема помогает нам перейти к рациональному уравнению, для которого метод интервалов хорошо работает.
Решение
Начинаем с ОДЗ. Напоминаю, что это множество значений, которые может принимать переменная, чтобы все выражение имело смысл. Из свойств логарифма получаем:
Упрощаем все эти неравенства:
Выбираем из них наиболее сильные:
Теперь используем теорему рационализации и переходим к следующему уравнению:
Упрощаем его:
Выносим минусы из первой и последней скобок:
И теперь смело применяем метод интервалов, не забывая учитывать ОДЗ. Отмечаем нули функции и расставляем знаки:
Остается только записать ответ:
Как вам метод? Если понравился - ставьте лайки, скоро на канале выйдет еще много интересных статей.
Если не понравился - делитесь своим решением этого неравенства.