Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Достаточно давно я не касался темы удивительных чисел - таких, которые могут и не нести никакого практического смысла, но само существование которых является удивительным фактом.
Сегодня у нас числа, названные в честь польского математика Вацлава Серпинского. Давайте разберемся, что же в них особенного.
Началось всё, как обычно бывает в теории чисел, с праздного интереса:
"А давайте возьмем какое-нибудь выражение, и посмотрим, какие числа оно генерирует".
В нашем случае анализу подвергли конструкцию вида:
Здесь всё просто: берем число произвольное число k, а затем рассматриваем значение выражения при всех натуральных n.
Скучно?
Не то слово...
Наверное, любимым занятием профессионалов теории чисел является поиск простых и составных среди чисел, генерируемых такого рода конструкциями.
Давайте, хотя бы для небольших n и k посмотрим на это:
Как всё было: перебирали-перебирали разные k, и везде так или иначе при каком-нибудь значении n попадалось простое число. Сразу же рождается индуктивная гипотеза:
А что, если исходное выражение при любом k генерирует как минимум одно простое число при некотором n?
Тут на сцену выходит автор 724 статей и 50 книг Вацлав Серпинский. Он доказывает (без приведения конкретных примеров), что существует бесконечное количество нечетных k, при которых, какое-бы число n Вы не взяли, все числа будут составными.
В 1962 году американский математик Джон Селфридж нашёл первый конкретный результат, основанный на теории Серпинского:
Т.е., какое-бы Вы не взяли число n, получившийся результат всегда будет составным, а его делителем будет одно из представленных чисел.
Кстати, такие наборы в теории чисел называются "покрывающими множествами". Например, для второго числа Серпинского, а оно равно 271129, покрывающее множество имеет вид: { 3, 5, 7, 13, 17, 241 }. У других чисел Серпинского, как правило, подобные наборы.
Загадки и интриги
На данный момент последовательность чисел Серпинского имеет вид:
78 557, 271 129, 271 577, 322 523, 327 739, 482 719...
Но загадок еще действительно много:
1. Не доказано, что число 78557 - минимальное из чисел Серпинского. На данный момент кандидатами остаются k = 21181, 22699, 24737, 55459 и 67607. Уже проверены все n< 32 миллионов (примерно) - все числа получаются составные, но в математике это не доказательство (скоро расскажу Вам про гипотезу Полля - вот где трагедия).
2. Не доказано, что 271129 - второе число Серпинского (он же, кстати, само является простым!). Понимаете, чтобы это доказать надо исключить все числа меньшие 271129. Для примера, какие вычислительные сложности ожидают исследователей:
Т.е. число 46157 было исключено из списка потенциальных чисел Серпинского, когда проверили на простоту страшное число справа! А это,знаете ли, еще та задачка!