Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Продолжаем разговор о т.н. списке вступительных задач-гробов, представленных Татьяной Ховановой. Подробную информацию можно узнать в материале по ссылке в конце материала. В этой заметке будем касаться только математической части проблемы.
Под номером 11 в материале "Jewish Problems from Tanya Khovanova Massachusetts Institute of Technology Cambridge, MA, USA" значится следующая задача-гроб с условием из одной строчки:
Доказать, что sin 10° - иррациональное число.
И вот я полностью не согласен с автором по поводу описываемой её "невероятной" сложности представленных задач. Более того, представленная проблема лично мне представляется отличным способом проверить соображалку абитуриента на устном экзамене. Вы сейчас увидите, что решение займет несколько строк текста, и никаких особых знаний не понадобится.
Итак, в первую очередь надо догадаться выразить синус через формулу тройного угла:
Дальше получаем кубическое уравнение, которое мы можем исследовать по теореме о рациональных корнях:
Она утверждает, что если у представленного уравнения есть рациональные корни, то они представляют собой различные вариации дроби ± p/q, где p - делитель свободного члена, q - делитель старшего члена.
Ни один из предложенных вариантов не подходит, а значит t как и sin 10° - является числом иррациональным. Вот и всё!