Задание
Дано два равносторонних треугольника. При помощи циркуля и линейки построить третий равносторонний треугольник, площадь которого равна сумме площадей первых двух.
Решение
Рассмотрим сначала такой геометрический факт.
Как известно, площадь равностороннего треугольника S со стороной x выражается формулой:
По теореме Пифагора для любого прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой c:
c² = a² + b²
Если домножить обе части этого равенства на
то получится:
или
S(c) = S(a) + S(b) ,
где S(a), S(b), S(c) – площади равносторонних треугольников со сторонами a, b, c соответственно.
Из полученного равенства следует, что площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе (т. е. треугольника, сторона которого составляет длину гипотенузы), равна сумме площадей равносторонних треугольников, построенных на катетах:
Из изложенного становится ясен алгоритм решения исходной задачи.
1. Пусть стороны двух данных равносторонних треугольников равны a и b. Берём произвольный отрезок и строим перпендикуляр к нему:
2. От точки пересечения с перпендикуляром на исходном отрезке отмечаем точку на расстоянии, равном a, а на самом перпендикуляре – на расстоянии, равном b:
3. Соединяем эти точки отрезком и на нём же строим равносторонний треугольник, который и будет искомым:
Комментарий
Геометрический смысл теоремы Пифагора c² = a² + b² обычно формулируют как равенство суммы площадей квадратов, построенных на катетах, площади квадрата, построенного на гипотенузе. В данной задаче показано, что аналогичная ситуация справедлива и в отношении равносторонних треугольников, а в книге
Перельман Я.И. Живая математика. Чебоксары: РИО типографии №1 по заказу ТОО «Арта», 1994. – 200 с.
описан случай о соотношении площадей полукругов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника.
Список других задач, имеющихся на канале, можно посмотреть здесь.
Перечень публикаций на канале