Начнём с того, что и первый и второй - епископы и монахи. Но есть одно значительное отличие, например, патриарх Московский и всея Руси руководит поместной православной церковью. Он не может вмешиваться в дела других поместных церквей. А главы других поместных церквей не вмешиваются в дела Русской церкви. Если же возникает какой-то вопрос, который требует совместного разрешения, то все патриархи собираются вместе на Вселенский собор и соборно решают тот или иной догматический вопрос.
А Папа Римский настаивает на том, что он сам единолично управляет всей церковью. Это мнение было принципиальным разногласием между восточными церквями и западной церковью в 11 веке. Папа Римский утверждает, что когда он говорит официально, то это абсолютно безгрешно. Ни у одного патриарха поместных церквей такого мнения не было и не будет. Также Папа Римский является главой государства Ватикан, чьи посольства есть во всех странах, и он может приехать с визитом в страну не только как глава церкви, но и как глава Государства. А его кардиналы, кстати, на этом основании могут присутствовать в православной церкви во время Богослужения. Они находятся там как представители государства и мы не можем их выгнать, хотя в молитве они и не участвуют.