Это чертежно-измерительный инструмент, направленный на выполнение практических задач по построению двухмерных и трёхмерных фигур на плоскости, а также по измерению и вычислению их линейных параметров, площади и объёма.
Своё название Аксонометрический угольник Бекетова (рис. 1) получил из принципа измерения и построения с его помощью объёмных фигур в точно заданной осевой (аксонометрической) проекции с учётом стандартного масштаба глубины 1:2 (одна единица глубины в проекции равна двум единицам фактической глубины изображаемого объекта).
Аксонометрический угольник представляет собой изделие в виде прямоугольного угольника с равными сторонами определённой целью построений ширины. Данный инструмент изготовлен из прозрачного пластика в виде тонкой ровной пластины (1,5 – 2 мм) указанной формы. Прямолинейные стороны инструмента снабжены шкалами делений и сложены в прямой угол, что позволяет использовать его в качестве обыкновенной линейки и угольника 90°х45°х45°, поскольку косые деления шкал сторон расположены под углом 45° к самим сторонам.
Широкие стороны угольника имеют повторяющие форму изделия прорези (пазы, каналы), расположенные на расстоянии половины единицы обеих шкал угольника (1= √1) по отношению к своим продольным серединам. Длина и ширина сторон аксонометрического угольника могут варьироваться в зависимости от поставленных перед практическим использованием инструмента задач.
На поверхность угольника нанесены измерительные шкалы в виде прямолинейной разметки сторон с помощью расположенных под углом 45° по отношению к параллельным прорезям косых линий. При этом внешние шкалы сторон угольника выражены в простых количественных единицах (1, 2, 3, 4 и т.д.), а внутренние — в соответствующих им квадратно-корневых единицах, то есть в образованных от равных натуральным числам квадратах под знаком квадратного корня (√1, √4, √9, √16 и т.д.). Именно эта особенность деления шкал позволяет рассматривать так называемую теорему Пифагора (a ^2+ b ^2= c ^2) в качестве измерительного инструмента для соответствующих сторонам полных квадратов прямых линий и строить квадраты заданной площади, как показано на рис. 2:
Итак, принцип функционирования аксонометрического угольника основан на теореме Пифагора, рассматриваемой с помощью комбинированных единиц измерения (1 = √1; 2 = √4; 3 = √9; 4 = √16 и т.д.). Абсолютное равенство целых чисел и корней их квадратов позволяет рассматривать данные числа в тесной взаимосвязи с заложенными в них возможностями и использовать названную теорему в качестве измерительного инструмента стороны квадрата и квадрата стороны одновременно (рис. 3):
По принципу нахождения наибольшей стороны прямоугольного треугольника (рис. 2) мы можем находить её путём элементарного сложения указанных на внутренних шкалах квадратных единиц под знаком квадратного корня
Данная форма записи соответствует предложенной Декартом в 1637 году.
По своей сути аксонометрический угольник является зафиксированным геометрическим построением, которое способствует упрощённому построению многогранников в аксонометрической проекции.
Многофункциональные свойства аксонометрического угольника заключают в себе большой потенциал для применения в науке. С его помощью выполняются следующие действия:
- Построение линий, углов, разносторонних, равнобедренных и прямоугольных треугольников, квадратов, прямоугольников, разносторонних параллелограммов, ромбов и трапеций с частично или полностью заданными параметрами (рис. 5):
Мы видим, что построение треугольников с известными основанием и высотой позволяет исследовать образование углов не на основе тригонометрических функций, а посредством квадратных соотношений внешних и внутренних параметров треугольника, т.е. его сторон и высоты (рис. 6):
Предполагается, что предложенный подход будет способствовать выработке альтернативного взгляда на закономерности соотношений углов и параметров прямолинейных фигур.
2. Построение объёмных (стереометрических) фигур в трёхмерной аксонометрической проекции на плоскости с заданными размерами (рис. 7) и положением в пространстве (рис. 8):
Приобретённый в течении недели практической работы с угольником навык позволяет быстро, легко, точно и аккуратно начертить каждую из продемонстрированных на рисунках фигур менее чем за минуту.
3. Упрощённое измерение и вычисление параметров, площади и объёма плоских (планиметрических) и объёмных (стереометрических) фигур (рис. 9):
На основании вышеизложенного оформляется вывод:
Поскольку аксонометрический угольник представляет собой сочетание основ фундаментальной математики и классической геометрии, открывается широкая возможность для использования данного чертежно-измерительного инструмента на школьных уроках математики, геометрии и черчения в качестве учебного пособия по изучению корней и квадратов чисел, упрощённого преподавания и облегчения понимания теоремы a ^2+ b ^2= c ^2 и оптимизации процесса линейных построений объёмных фигур в трёхмерном (евклидовом) пространстве на плоскости.
Видео-инструкции по использованию аксонометрического угольника при построении кубов, параллелепипедов, пирамид и призм можно посмотреть на канале Хакнем Школа. Вот одно из них:
В скором времени планируется создание тематического сайта, на котором будет предоставлена исчерпывающая информация о свойствах, функциях и использовании аксонометрического угольника на практике.
Автор: Андрей Юрьевич Бекетов, окончил исторический факультет СПбГУ по кафедре древней Греции и Рима.
Читайте наш канал в телеграм — по этой ссылке
