Оказывается, посчитать разницу, используя лишь школьные методы не получится!
Приветствую Вас, сегодня у нас вечер удивительной прикладной математики. Задумывались ли Вы, на сколько длиннее путь домой у пьяницы, который двигается не по прямой, а пошатываясь с некоторой, известной только ему, амплитудой?
Конечно, точное моделирование движений такого персонажа - проблема, несомненно требующая научных изысканий, в том числе натурного эксперимента. Мы же в данном случае примем некоторые ограничения - будем считать, что пьяница движется по идеальной синусоиде и пройти ему требуется её полный период. Итак, взглянем на рисунок:
Идеальный маршрут по прямой составляется примерно 6,28 единиц пути. А что же с маршруту по синусоиде? А здесь всё оказывается не так просто.
В курсе вузовской математики дается универсальная формула длины дуги плоской кривой в декартовых координатах, которой мы можем воспользоваться:
Удивительно то, что этот. казалось бы, простенький интеграл неберущийся ! После некоторых преобразований он сводится к т.н. эллиптическому интегралу второго рода, который в подавляющем большинстве высших учебных заведений, не связанных с серьезной математикой не изучается.
Длину синусоиды абсолютно точно найти не получится! Так же, как и с периметром обыкновенного эллипса, при попытках вычисления которого и появились одноименные интегралы.
К счастью, в сети есть множество сервисов, которые позволяют вычислить даже такой интеграл приближенно.
Итак, на таком маршруте мы получаем превышение дистанции в 8,81/6,28 = 1,4 раза, т.е. фактически на 40%! Конечно, многое зависит от амплитуды движения и от частоты "болтаний", но одно можно утверждать точно: дорога домой у пьяницы будет значительно длиннее, чем у трезвого человека. Как всегда, спасибо царице-Математике!