В этой заметке мы разберем задачу по математике из городского этапа олимпиады за 8-9 класс, проходившей 30 лет назад в 1992 году.
Приветствую вас, друзья. Недавно в чате Physics.Math.Code скинули очередную интересную задачку. Подробного решения так никто и не предложил. А задачка оказалось вовсе не простой. Честно сказать, мне кажется, что её не то чтобы 8-классник вряд ли решит, но и большинство преподавателей не сразу додумается.
Нет, я не говорю о том, что что-то не так со школьниками. Они то как раз ни в чем не виноваты. Система образования действительно хромает. Даже в физико-математических лицеях очень слабая подготовка к олимпиадам. Если вы школьник и хотите побеждать в олимпиадах, то дополнительно к школьной программе вам нужны: дополнительные серьезные книги, постоянная практика решения задач, наставник-репетитор.
Итак, перестаем ходить вокруг вокруг да около, приступаем разбору...
Задача
Можно ли подобрать два многочлена P(x) и Q(x) с целыми коэффициентами так, что P – Q, P и P + Q – квадраты некоторых многочленов (причём Q не получается умножением P на число)?
Решение:
1. Для начала введем некоторые обозначения, при которых многочлен P(x) будет выражаться через квадрат многочлена T(x). Аналогично, сумма и разница многочленов P(x) и Q(x) выразим так: P(x) + Q(x) = R²(x) и P(x) - Q(x) = S²(x).
2. Далее, сложим второе и третье выражения, заменим P на T² (согласно первому выражению), получим 2∙T² = R² + S². Затем умножим на 2 обе части равенства 4∙T² = 2∙R² + 2∙S², что в результате даст нам возможность расписать выражение так: (2∙T)² = (R + S)² + (R - S)²
3. Исходя из предыдущего пункта, мы должны найти такие полиномы, чтобы квадрат одного был равен сумме квадратов двух других полиномов (похоже на теорему Пифагора, только с многочленами, а не числами). При этом все полиномы должны быть разными.
Заметим, что справедливо следующее тожество: (x² + 1)² = (x² - 1)² + 4x²
4. Сопоставляя данные из 3-го и 2-го пункта, мы сможем найти полиномы (многочлены) T(x), R(x) и S(x):
5. Далее, зная T(x), R(x) и S(x), найдем исходные полиномы P(x) и Q(x) с учетом формул из 1-го пункта.
6. Полиномы найдены, задача решена. Остается только выполнить проверку условий задачи.
Решение полностью
Что мне кажется самым сложным в этой задаче, так это догадаться до тождества в 3-м пункте решения. В противном случае, если мы сразу не догадаемся, то мы попадаем на очень неприятный перебор, который ни к чему хорошему нас не приведет. Потому что мы не знаем максимальную возможную степень многочленов, а также не сможем перебрать любые коэффициенты при разных степенях x. Есть ли какое-то другое аналитическое решение задачи? Пишите в комментариях свои идеи.
Понравилась задачка? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram