Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Продолжаем тему заковыристых задач, которые давали экзаменаторы Московского государственного университета для отсева ненужных по национальным или иным мотивам студентам.
Здесь я ссылаюсь на статью А.Шень "Вступительные экзамены на Мехмат". Как к ней относится автор этого канала - совсем другой вопрос.
Прошлые задачи, которые я показывал в этом контексте были достаточно быстро решаемыми, но требующими поиска определенной изюминки. Сегодня же - натуральная задача-гроб, решить которую за предоставляемые 10 минут на устном экзамене невероятно сложно (сужу лично по себе).
Итак, дано неравенство:
Ну хотя бы ясно с чего начинать: очевидно нужно преобразовывать коэффициенты перед степенями х. Ведь по сути у нас квадратное неравенство, которое мы умеем решать. Начнем с квадратного корня:
Осталось внести вычисленное значение квадрата синуса и выделить полный квадрат:
Теперь возвращаемся к синусу 15 градусов, умноженному на 2 корня из 2. Здесь нам так же удается выделить полный квадрат:
Ну а теперь первый нетривиальный ход. Делаем замены косинусов на переменные, используем формулы двойного угла следующим образом:
После преобразований, скажем так, становится полегче: ведь сокращение иррациональностей в любой задаче - это добрый знак!
При х=0 неравенство очевидно выполняется, а что в остальном? Деваться некуда - вычисляем дискриминант:
Поработаем с выражением в скобках: ведь если у нас получится доказать, что оно больше или равно 0 при всех значениях a,b и c, то исходное неравенство будет справедливо при всех х:
Проводим преобразования до такого вида выражения:
Я думаю, на устном экзамене допустимо сказать, что неравенство выполняется всегда. Для этого замените все переменные на a. Тогда в левой части получим 0, и неравенство выполняется. Учитывая, что а - это наибольшее из чисел, во всех других случая выражение слева будет строго больше нуля.
На этом решение заканчивается - мы доказали, что дискриминант трехчлена меньше нуля, а с учетом положительного коэффициента при квадрате x, можно утверждать, что неравенство выполняется при любом х.
Спасибо за внимание! Подписывайтесь на канал!