Соблазны нас окружают везде, и даже в решении задач. Самый простой способ справиться с соблазном — поддаться ему :) Но это не приводит к простым решениям. Ужасный соблазн — применить первый пришедший в голову способ решения.
В учебниках нас знакомят в первую очередь с универсальными моделями; их можно применять во многих случаях. Как балахон, который можно натянуть на любую фигуру. Именно такие балахоны первыми приходят на ум. Носить их потом может быть неудобно, решения получаются слишком сложными.
В группе Незадача дня мы решали такую незадачу:
Корней наугад бросает точку на отрезок [0;1]. Ее координата х равномерно распределена на этом отрезке. Потом Корней мастерит монетку, которая с вероятностью х падает решкой, а с вероятностью 1-х с орлом.
Какова вероятность того, что на этой монете два раза подряд выпадет решка?
Переводим на математический язык:
Есть случайная величина Х, равномерно распределенная на отрезке [0;1]. Вероятность выкинуть решку на несимметричной монете равна Х.
Вячеслав Васильев поясняет, как решать задачу в этой модели:
Очевидно, вероятность выкинуть две решки равна Х². С учетом того, что вероятность распределена равномерно, и известны границы промежутка, берем определенный интеграл от x² в пределах от 0 до 1.
Но идти по этому пути необязательно. Павел Хворых предлагает другую модель, в которой решение элементарно. Модель эту увидеть труднее, но зато решение в ней проще:
Исходный бросок точки — это генерация случайного числа x от 0 до 1.
Бросок монеты Корнея можно разложить на два действия:
— генерация случайного числа от 0 до 1 (совершенно независимого от x);
— сравнение сгенерированного числа с x: если меньше, то выпала решка.
Таким образом, всё мероприятие заключается в генерации трех случайных чисел и проверке, что второе и третье меньше первого.
В этом решении бросание монеты описано не случайной величиной с двумя значениями, а броском точки на отрезок. Непривычно, зато даёт выигрыш в решении. Все три числа равноправны, любое из них может быть наибольшим с равной вероятностью. Первое число является наибольшим с вероятностью 1/3.
Вот еще одна задачка, в которой полезно тщательно выбрать модель; и тогда решение будет проще некуда.
У Корнея 5 гривенников, а у Матвея 4 полтинника. Они играют в такую игру: каждый бросает свои монеты; у кого выпало больше орлов, тот и выиграл. Какова вероятность того, что выиграет Корней?