Очередная интересная задача по геометрии будет подробно разобрана в этой статье. Вчера в чате в telegram товарищи подкинули задачку, которая сначала завела в тупик. Первые минуты было абсолютно непонятно как отталкиваться от предоставленных данных. В итоге спасло мучительное копание в сторону нахождения соотношений между различными сторонами. Именно это привело к тройному подобию треугольников, которое вывело на решение с помощью теоремы синусов. В итоге задача была просто замучена многочасовой осадой и в конце сдалась :) А потом эти мысли: «Ну почему нельзя было догадаться быстрее до этого решения...»
А теперь всё по порядку...
Задача
В окружности радиуса R проведены две хорды: AB и AC. На хорде AB или на её продолжении за точку B взята точка M, расстояние от которой до прямой AC равно длине хорды AC. Аналогично на хорде AC или на её продолжении за точку C взята точка N, расстояние от которой до прямой AB равно длине хорды AB. Найти длину отрезка MN.
Решение:
Для начала сделаем рисунок к нашей задаче...
Итак, следуя условию, мы не должны получить какой-то частный случай удобного угла между хордами, ведь это собьет нашу интуицию, которая итак не всегда помогает в математике. Также точки M и N необязательно должны лежать на окружности. Поэтому в общем виде будет так:
1. Для начала определим соотношения между ключевыми углами, которые мы обозначили на рисунке:
2. Заметим, что фигура KMNH - является вписанным в окружность четырехугольником из-за того, что сумма его противоположных углов образует 180 градусов. Докажем это:
3. Докажем, что треугольник ∆AKH подобен треугольнику ∆ANM. Затем получим первое соотношение, из которого можно выразить MN:
4. Воспользуемся теоремой синусов для треугольника ∆ABC. Здесь же используем соотношения углов из 1-го пункта:
5. Рассмотрим треугольники ∆AKH и ∆ABC. Они будут подобны по общему углу ψ и двум пропорциональным сторонам:
6. Используем подобие треугольников ∆AKH ~ ∆ABC и тот факт из условия, что KN = AB, выразим KH через BC и угол α. Подставим всё в выражение для MN из пункта 3 и получим ответ:
Сокращенное математическое решение
Понравилась задачка? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram