Математика - простая наука если ее правильно преподавать. Тут есть многовековые наработки и нельзя их сбрасывать со счетов.
В американской системе изучение математики очень основано на попытках создать наглядность - рисование всяких схем, диаграм итп для объяснения теории. Материал дается малыми порциями, блоками, часто надо приложить усилие, чтобы связать их между собой в единую систему.
В русских учебниках для средней и старшей школы мы видим (пока) связное изложение материала в виде длинного текста - десяток параграфов на каждую тему (начиная с 5-6 класса), включающем в себя примеры, вопросы для самопроверки, и, главное, в конце теоретические выводы и правила для запоминания. При выполнении упражнений не только отрабатывается новый навык, но и повторяется множество ранее изученных. Вот пример. Виленкин 5 класс, изд.1996, задание N1379. Дети только что научились умножать (но пока не делить) десятичные дроби.
Видим, что этот второй урок (в рамках темы “Десятичные дроби”) посвещен не только умножению дробей, но и повторению алгебры - а именно, работе с буквенными выражениями. Для выполнения задания потребуется преобразовать (упростить) выражение, вспомнив действия со скобками. После подстановки числового значения переменной придется потренироваться и в перемножении больших чисел (материал 4 класса) и сложение/вычитание дес.дробей - тема пройденная несколько уроков назад.
А вот как эти же темы изучаются в американской математике (программа Сингапур, Singapore Math in Focus, с зеброй на обложке).
Сначала работа с переменными - 4-5 уроков, это одна неделя ( в нашей конкретно школе эту тему пропустили, да и ладно, ничего сложнее обычных уравнений вида 4х-7=2х+9 там не было).
Больше за весь год к теме переменных не возвращаемся. У учеников должны остаться в памяти эти листы, до следующего года, когда начнется изучение новой темы из алгебры, “по спирали”.
Зато переходим к теме “Десятичные дроби”. Decimals. Учимся их складывать, вычитать, делить и умножать на натуральное число. Переменные, уравнения - с этим больше не встречаемся, пока изучаем данные действия с дробями.
Подробнее сравним изучение темы “Десятичные дроби” в двух разных странах позже. А пока - задачи (несколько уроков, после того как прорешены примеры). У нас, замечу, всегда - в пределах урока (и домaшнего задания) решаются и примеры, и задачи, и уравнения...
А вот самые сложные задачи в этой теме - Challenging Practice.
Напоследок, если еще не утомлены, взгляните на полный скан той страницы русского учебника. Замечу, что размер этой страницы в два раза меньше страницы сингапуровской рабочей тетради, где помещается (мы видели) две задачи или восемь примеров. Да, нашим школьникам приходится переписывать задания в тетрадке. Но это гораздо убористее получается все равно. Мы не переводим бумагу и деньги на образование, через выпуск этих огромных рабочих тетрадей. К слову, к сингапурским тетрадям прилагаются еще и учебники (две книги) формата А4 и весом 2кг каждый, где очень мало текста, но много фотографий задумавшихся над решением задач (и смотрящих при этом с улыбкой в камеру) учеников всех расовых принадлежностей.
Невооруженным глазом по одной странице учебника заметно, насколько интенсивно требуется шевелить мозгами ученику, чтобы справиться с заданиями. Ни одной задачи в одно действие, ни одной шаблонной. Требуется анализировать текст, чтобы смоделировать схему решения (задача про параллелепипед). Помнить формулу площади, объема, пути-скорости, порядок действий, степень. На предыдущей странице ученики должны в задании сами, через буквы, вспомнить и записать свойства умножения (переместительное, сочетательное, распределительное). При этом сообразительные всегда могут что-то упростить и уменьшить себе работу.
Например,
N1380е. Как доказать, не вычисляя в столбик, что в ответе будет 0?
7.2x3.6 - 4.8x5.4
//Вынести 1.8x1.2 (или 3x4=6x2=12 ) за скобки
Или:
Две лодки, собственная скорость каждой из которых 12.5км/ч, движутся по реке навстречу одна другой. Через сколько часов они встретятся, если сейчас расстояние между ними 80км, а скорость течения 2.5км/ч?
Решите ту же задачу, если скорость течения 3 км/ч.
Какое условие в задаче лишнее?
// Принцип относительности. Как видит ситуацию наблюдатель на плоту (обе лодки движутся с одинаковой скоростью). А если не лодка, а солнечный луч? Там сложнее
Но. И от учителя, и от учеников требуется бОльшая работа. Дело даже не в объеме. Преподаватель может (и должен) на ходу, опрашивая учеников, менять задания или давать дополнительные в зависимости от уровня и демонстрируемых умений. Раздать всем одинаковые листы с заданием гораздо легче и возникает некое ощущение справедливости - каждый делает работу самостоятельно и получает отметку по заслугам.. Но дело в том, что учеников с равными способностями нет - одному будет трудно, другому скучно. Если тебя вызывают к доске - это и сценическое искусство (держаться, когда на тебя все смотрят), не растеряться, и умение быстро соображать в условиях стресса, и куча других навыков тренируется. Но сложную задачу скорее вызовут решать сильного ученика, и наоборот - время-то на уроке ограничено. Считалось, что даже списывание с доски или чужой тетради помогает что-то усвоить - при высоко поднятой планке. Перепрыгнуть эту планку предполагалось не всем, но и снижать ее не собирались. “Три” был удовлетворительный бал, который означал просто неготовность идти в 9 класс (в 8 сдавались выпускные экзамены, неполное среднее образование).
Ладно, темы не проходимые в нашем 5 классе, но затрагиваемых в американском сингапуре.
Отношения (Ratios). Решаем простейшие задачи. У нас (в 6 классе) сразу почти вводится пропорция, ее основные свойства итд.
ТеорВер. Все на пальцах - тройка,семерка,туз, пардон, кидаем кубик и объясняем вероятность. Никакой комбинаторики (то есть теории). Задачи типа “три блузки, две юбки - сколькими способами можно составить костюм?” У себя нашла единственный учебник за 5 класс, где объяснялась бы вероятность, тема включает в себя Комбинаторные задачи (перебор вариантов, такие задачи у Петерсон - постоянно класса со второго, типа “сколько трехзначных чисел можно выложить из карточек 1, 4, 7?”). Формул нет. Дерево возможных вариантов (как метод решения комбинаторных задач). Но это тоже скорее игра на составление лабиринтов (хотя задания есть и сложные, неплохо дать порешать)
Проучившись год в частной американской школе ( на полудомашнем обучении) однозначно понимаю, что в русской ( советской) программой по математике все много-много лучше. Даже если не уровень ФМШ.