Приветствую Вас, уважаемые Читатели! AIMO - это самая масштабная математическая олимпиада, в которой принимают участие школьники из стран азиатского региона.
В настоящее время в олимпиаде принимают участие всего лишь 15-20 стран, но среди них есть Китай и Южная Корея - постоянные призеры и победители старейшей в мире математической международной олимпиады AIME, так что солидности этой "битве умов" не занимать.
В отличие от многих других олимпиад, азиатское соревнование содержит достаточно большое количество задач - целых 30! Естественно, их сложность не такая высокая.
Как раз про одну из таких задач с олимпиады 2015 года, проходившей в Гонконге, я хочу рассказать.
Итак, требуется найти минимальное целое х, которое удовлетворяет следующему уравнению:
Явно же, не зря авторы задачи представили левую часть в виде степеней двойки!
Вынесем за скобки числовой множитель и посмотрим, что получилось:
При решении таких уравнений часто нужно прийти к разложению на произведение.
В нашем случае это даст возможность ввести дополнительные переменные:
Теперь проделываем ряд преобразований:
Мы просто провели факторизацию (разложение на простые множители) числа 192.
Разделим уравнение на 2^6:
Разность четных чисел слева равна нечетному числу 3, что может быть только в одном случае: когда 2 в степени равно 1. Пользуясь этим, вычисляем значение a, а затем и сумму, которая и является ответом. Спасибо за внимание!