Сегодня в нашем чате в telegram от канала Physics.Math.Code один человек попросил помощь с решением интересной задачи. Уж не знаю, является ли это задачка олимпиадной, но мне кажется, что она будет интересна тем, кто изучает алгебру и параметрические уравнения. Да и самому мне она понравилась, поэтому решил сделать небольшую заметку с разбором :)
Задача
Уравнение x³ + 21∙x² + p = 0 имеет три различных действительных корня, образующих арифметическую прогрессию. Определите наибольшее возможное значение параметра p.
Решение:
1. Для начала сопоставим наше уравнение с общим видом кубического уравнения и сопоставим все коэффициенты:
2. Используем теорему Виета для кубического уравнения. Предположим, что кубическое уравнение имеет три корня x₁ , x₂ , x₃ . Тогда многочлен в левой части уравнения ax³ + bx² + cx + d = 0 раскладывается на множители следующим образом a∙x³ + b∙x² + c∙x + d = a∙(x - x₁)∙(x - x₂)∙(x - x₃). Если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то получится:
a∙x³ + b∙x² + c∙x + d = a∙x³ + a∙(x₁ + x₂ + x₃)∙x² + a∙(x₁∙x₂ + x₂∙x₃ + x₁∙x₃)∙x - a∙x₁∙x₂∙x₃.
Приравнивая соответствующие коэффициенты при одинаковых степенях x, можно получить теорему Виета и использовать её в нашем решении:
3. По условию нам сказано, что все три корня этого уравнения являются членами арифметической прогрессии. Поэтому мы их можем связать еще несколькими уравнениями, а точнее выразить их через начальный член прогрессии и разность прогрессии d:
4. Упростим полученные уравнения:
5. Решая второе уравнение, мы можем найти значения для d:
6. Последовательно подставляя эти два значения d, мы найдем два варианта прогрессий, которые совпадут друг с другом по членам. Разница будет лишь в том, что одна прогрессия будет убывающей, а другая будет возрастающей:
7. В обоих случаях мы получаем симметрично-одинаковые решения и одно и то же значение параметра p = -686.
Наше уравнение получается следующим: x³ + 21∙x² - 686 = 0. Проверим наше решение зрительно, воспользовавшись графическим методом:
Расстояние между соседними корнями сохраняется даже зрительно, что доказывает правильность решения. Задача решена. Параметр p может быть равен только одному числу, которое мы нашли: p = -686.
Понравилась задачка? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram