Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Решение интегралов - это истинное математическое искусство! Я уже несколько раз на своём канале показывал Вам, как, с первого взгляда страшнейшие интегралы, с помощью изящных методов решаются легко и просто (порой, даже устно).
Сегодня я хочу остановиться на способе нахождения интегралов, который назван в честь Нобелевского лауреата по физике, американского ученого Ричарда Фейнмана.
Как это часто бывает, изобретателем рассматриваемого нами трюка является не сам Фейнман. Сам ученый в сборнике автобиографических историй "Наверняка Вы шутите, мистер Фейнман" рассказывал, что впервые познакомился с методом на уроках физики:
Однажды школьный преподаватель физики сказал мне остаться после занятий. «Фейнман, — сказал он, — ты слишком много говоришь и слишком много шумишь. Я знаю почему. Вам скучно. Итак, я собираюсь дать вам книгу. Вы садитесь на последнюю парту и изучаете всё, что есть в этой книге. Только потом я разрешу Вам снова разговаривать».
Именно в этой книге Ричард знакомится с удивительным приемом, который заключается в дифференцировании параметров под знаком интеграла. В совершенстве им овладев, Фейнман решит множество задач, над которыми безуспешно будут "страдать" его будущие коллеги из Массачусетского и Принстонского университетов, чем и популяризирует эту технику вычисления интегралов.
Давайте разберемся, что это за метод. Тем более, что ничего сложного и выходящего за рамки школьной программы в нём нет. Итак, пусть нужно найти интеграл:
Теперь ключевой момент: предположим, что справа у нас записана функция не от переменной x, а от параметра t и найдем её производную (продифференцируем интеграл!!!):
Раз уж нас находится производная по t, то первое слагаемое является константой. Вычисляя табличный интеграл во втором слагаемом получим:
Напомню, что мы нашли производную интеграла. Теперь делаем обратную операцию с полученным результатом, не забывая прибавить константу:
Найти значение этой константы поможет решение интеграла при частном параметре t= 1 :
Значит, какой бы не был параметр t, значение исходного интеграла всего лишь равно его натуральному логарифму:
Вот и весь трюк! Конечно, способ не ограничивается в применении относительно экспоненциальных функций, а имеет фундаментальный характер. Впрочем, это уже совсем другая история! Спасибо за внимание!
- Читайте про еще один замечательный интегральный трюк