Построение следов прямой - типовая задача по начертательной геометрии.
В предыдущем уроке было рассмотрено положение прямой в пространстве.
Понятие следов прямой
Что такое след? Следы прямой - точки пересечения линии (прямой) с плоскостями проекций. Так как плоскостей проекций - 3, то и следов будет тоже три, однако на чертеже проекция следа совпадает со следом на соответствующей плоскости проекций.
А теперь понятным языком - горизонтальная проекция следа совпадает с горизонтальным следом, фронтальная проекция фронтального следа с фронтальным следом, а профильная проекция профильного - на профильной проекции.
В начертательной геометрии чаще рассматривают только два следа - горизонтальный и фронтальный.
Алгоритм построения следов прямой
Обратите внимание, что при построении следов первым действием затрагивают вторую проекции, то есть при построении горизонтального следа - фронтальную проекцию прямой, при построении фронтального следа - горизонтальную. Построение начинается с доведения до оси какой-либо проекции до пересечения с осью Ox.
Построение горизонтального следа прямой
Пусть задана прямая общего положения АB (рис. 1.). Определим горизонтальный след прямой.
1. Фронтальную проекцию доводим до пересечения с осью Оx (рис 2).
2. Из полученной точки пересечения, по линии связи опускаем точку на горизонтальную проекцию прямой, то есть проводи к оси перпендикуляр.
3. Полученная точка и будет являться горизонтальной проекцией горизонтального следа прямой - точка M' (рис. 4). При этом точка М'' полученная в первом действии является фронтальной проекцией горизонтального следа.
На рис. 4 точкой M' обозначена горизонтальная проекция горизонтального следа прямой AB, эта точка совпадает с М горизонтальным следом (M'≡M).
Построение фронтального следа прямой
В целом алгоритм построения фронтального и горизонтального следа схожи:
Однако, в первом случае мы находили горизонтальный след, а точнее его горизонтальную проекцию, значит сейчас необходимо найти фронтальную проекцию фронтального следа
1. Точно также проекцию прямой AB, но горизонтальную, продляем до пересечения с осью Оx.
2. Проводим линию связи. Не забываем, что линия связи - вертикальная линия (для горизонтальной и фронтальной проекций), соединяющая две проекции одной точки.
3. Полученная точка на фронтальной проекции прямой и будет являться фронтальной проекцией фронтального следа прямой.
На рис. 5 точкой N'' обозначена фронтальная проекция фронтального следа прямой AB, при этом эта точка совпадает с N фронтальным следом (N''≡N). А точка N' - горизонтальная проекция фронтального следа.
Оба следа можно было найти на одном чертеже, разделение было необходимо для наглядности. На рис. 6 найдены оба следа прямой AB.
Построение следов прямых частного положения
Прямую общего положения, как и профильную прямую, характеризует наличие обоих следов на плоскостях проекций (П' и П'').
Горизонтальная прямая имеет только фронтальный след и не имеет горизонтального следа, так как фронтальная проекция прямой не пересекается с осью Ox (рис. 7).
Фронтальная прямая имеет только один горизонтальный след и не имеет фронтального потому что горизонтальная проекция прямой не может пересечь ось Ox.
Горизонтально-проецирующая прямая не имеет фронтального следа, а горизонтальный след совпадает с ее выродившейся горизонтальной проекцией (рис. 8, слева).
Фронтально-проецирующая прямая не имеет горизонтального следа, а фронтальный след совпадает с ее фронтальной проекцией (рис. 8, справа).
Профильно-проецирующая прямая не имеет следов ни на одной из двух плоскостей проекций (П' и П'') (рис 9).
Итак, в этом уроке были рассмотрен алгоритм построения следов прямых общего и частного положения.
В следующем уроке изучим взаимное положение точки и прямой.