Все удачные пособия по математическому анализу похожи друг на друга, каждое неудачное пособие неудачно по-своему — сказал бы Лев Толстой, если бы разбирался в анализе так, как в семейной жизни.
Я уже рассказывала о двух книгах, которые дают общее представление об анализе — Бена Орлина для начинающих и Стивена Строгаца для продвинутых читателей.
Однако советую еще одну, специально для первокурсников.
Мы начинаем учить матанализ с определений и приемов решения задач. Упражнений на отработку этих приемов много, отчего нарабатывается интуиция: мы учимся быстро узнавать в лицо замечательный предел или возможность применить правило Лопиталя.
Но отрабатывая типовые приемы, мы не сталкивается с тонкостями их применения; иногда даже нарабатывается ложная интуиция — кажется, что типовые ситуации имеют место всегда. Скажем, если много раз применять свойство «монотонная функция обратима», то может сложиться впечатление, что обратимая функция монотонна.
Чтобы не сформировались такие ложные интуиции, надо рассматривать и нетиповые примеры, издаются даже специальные сборники контрпримеров.
Классическая, проверенная поколениями книга — Б. Гелбаум, Дж. Олмстед, Контрпримеры в анализе. Но эта книга, скорее, не для начинающих, а для более опытных студентов.
Сергей Климчук написал похожую книгу специально для первокурсников. Идея та же, но материал заметно проще. Еще одно отличие от книги Гелбаума и Олмстеда — у Климчука гораздо больше картинок, графиков функций. Его книга издана в Новой Зеландии, а потому малоизвестна (S. Klymchuk, CounterExamples in Calculus, Maths Press, Auckland, New Zealand, 2004).
Она состоит из тщательно сконструированных неверных утверждений, которые на неискушенный взгляд кажутся верными. Вот несколько примеров.
Это кладезь полезных примеров и картинок для преподавателей — можно быстро и внятно объяснить студенту, в чем он заблуждается. В конце книги приведены контрпримеры к неверным утверждениям,
Контрпримеры помогают глубже осознать определения и теоремы анализа. Но совсем зеленым первокурсникам надо еще уметь грамотно применять их при решении задач, а для этого учиться понимать условия задач. Поэтому, когда книгу переводили на русский язык, Олег Александрович Иванов (1951 — 2019) из Петербурга написал большое дополнение к ней — сборник задач на понимание. Это задачи не на счет, не на отработку техники взятия пределов или вычисления производных. Здесь требуется четко понимать значения всех слов, входящих в условие, и само условие задачи, безошибочно применять имеющиеся знания. Такое умение не отрастает у первокурсников само по себе, его надо воспитывать.
Подбирая задачи, автор опирался на опыт преподавания студентам экономического факультета, — не математического. Так что ее можно рекомендовать студентам разных специализаций. Для преподавателей в этой книге даны методические комментарии, а для студентов — полные точные решения.
Оба текста — и С.Климчука и О.Иванова — вышли под одной обложкой, я горячо рекомендую эту книгу первокурсникам и преподавателям.