Я хотела стать учителем с тех пор, как узнала об этой профессии в возрасте 7-ми лет. Но пошла по стопам своих родителей и получала первое образование на Физтехе. После 3-его курса я начала подрабатывать репетитором по математике. Долгое время в силу внешнего влияния я не рассматривала преподавание как основную профессию. Только поискав себя в разных областях, я осознала, что профессия давно лежит передо мной на блюдечке - это профессия учителя. И с тех пор я только преподаю. Работала в Физтех-лицее и на подготовительных курсах МФТИ, а сейчас у меня своя школа-студия Кэллипсо.
Так как первое образование у меня техническое, а я пошла по пути преподавания, то хотелось добирать педагогические навыки всеми доступными способами. Я получала второе высшее психологическое образование, изучала методику преподавания математики на педагогическом факультете МГУ и проходила курсы повышения квалификации. А отдыхала за просмотром художественных фильмов об учителях. Поделюсь тем, что мне удалось открыть для себя, что мне помогает в обучении школьников математике. Многое из этого я переняла у своих учителей. Другое дело, что своих учителей я находила в совершенно разных местах: это и Физтех, и мой второй институт, где я получала психоаналитическое образование, это и школа-студия танцев и многое другое.
Есть ли у вас вопросы?
Свои занятия я начинаю рассказом о том, чем мы будем заниматься, на что делать упор, что требуется от учащихся. И акцентирую внимание ребят на том, чтобы они задавали вопрос всякий раз, когда им что-то не ясно. На занятии им должно быть все понятно, говорю я, и добавляю, что обучение происходит за счет задавания вопросов. Конечно, эти мои первые слова кто-то запоминает и следует моей рекомендации, но не все. Обычно на занятиях активно задают вопросы самые "сильные" ученики, потому что подспудно они понимают, что если уж они в чем-то не разобрались, то другие ребята не поняли тем более, и поэтому не зазорно спросить. Я прилагаю очень много усилий, чтобы переломить эту ситуацию: чтобы вопросы не робели задавать все, без исключения, ученики.
Один наш преподаватель в Восточно-Европейском институте психоанализа всегда начинал лекцию словами: «Накопились ли у вас какие-то вопросы?» Поначалу меня это забавляло: «Какие у нас могут быть вопросы, если лекция еще не началась? Еще не было никакой начитки материала». Потом я поняла, что вопрос вполне логичен: если у нас не было лекции, это не значит, что мы о чем-то не думали, и вполне может быть, что столкнулись с чем-то пока для себя нерешённым. По ходу лекции этот преподаватель несколько раз останавливался в изложении и обращался к нам с тем же: «Есть ли вопросы?» Это происходило так часто, что в голове засело: вопросы можно и нужно задавать. Тем более, что хорошие вопросы подстёгивали преподавателя рассказывать и о чем-то таком, что выходит за рамки программы. Следуя его примеру, я задаю этот вопрос в начале занятия, несколько раз в течение и в конце.
Начало обучения
Если коллектив новый, и ребята еще не успели перезнакомиться, то на первом занятии я рассказываю немного о себе, и прошу каждого из них представиться и рассказать, чего он ждет от занятий, и какие отношения у него сложились с математикой. Для этой же цели, чтобы дети быстрее перестали чувствовать себя отчужденно, начали проявлять активность, чувствовали себя комфортно в коллективе, в начале занятий можно давать задания-ледоколы¹.
До начала занятий я провожу тестирование. Целей у него две. Первая - выявить пробелы в знаниях, чтобы составить корректную программу занятий. Вторая, если есть возможность, после тестирования поделить детей на группы по уровню знаний.
Немартышкин труд
Занятия математикой и в школе, и в институте часто проходят по следующему сценарию²: на головы учащихся обрушивается поток ничем не мотивированных определений и теорем. Учащийся не понимает, где и когда эти теоремы ему пригодятся (и с содроганием отгоняет мысль о том, что через несколько месяцев ему предстоит всё это самому воспроизводить на экзамене³). Но вот наступают практические занятия, и ему предлагается поупражняться в применении теорем. Дается метод, или «рецепт», решения той или иной задачи, затем сотня номеров для упражнения. Потом рассматривается следующий метод, и предлагается еще одна сотня примеров на эту тему, и т.д. и т.п. Так и получается, что подумать нам некогда - мы слишком сильно заняты «упражнениями». Но надо отдать должное такому подходу, он хорошо учит примиряться с тем, что в жизни приходится выполнять рутинную работу. Безусловно, на занятиях мы должны учить технике, но не подменять ею всё. Я стараюсь показать своим школьникам, что математика - это предмет не только о накопленных человечеством знаниях и приёмах, но также и о том, откуда они появились.
Как древние китайцы решали задачи
Даже те школьники, которые уже умеют решать системы линейных уравнений, знают метод сложения и подстановки, почти никогда не знают, откуда эти методы взялись. Прежде чем давать алгоритмы решения систем, полезно разобрать следующий пример.
С помощью весов и гирь я узнала, что одна слива и три персика весят 275 г, а две сливы и один персик - 125 г. Из этого я могу вывести, сколько весит одна слива и один персик. И вот, как я это делаю. Если я возьму первый набор, одна слива и три персика, и удвою его, я получу, что две сливы и 6 персиков весят 550 г. Если я вычту из этого второй набор грузов, две сливы и один персик, весом в 125 г, у меня получится интересный результат - слив нет. Убрав сливы, я узнала, что пять персиков весят 425 г. Значит один персик весит 85 г. Отсюда я могу вычислить, что одна слива весит 20 г.
Древние китайцы решали так задачи, еще не вводя буквенных обозначений.
Прежде чем вводить формальное определение, нужно обеспечить понимание понятия - объяснить на пальцах или привести аналогию.
Вот аналогия, которую можно привести, прежде чем определять функцию. Рассмотрим алгебраическое выражение с единственной переменной x. Представим, что у нас есть «мясорубка», в которую мы бросаем число x1. Число как-то «перемалывается», и из «мясорубки» появляется новое число y1. Бросим число x2, оно также перемелется, и у нас появится новое число y2.
y1, y2 - это значения алгебраического выражения при постановке в него x1 и x2, т.е. «мясорубка» - некое правило, по которому преобразуются числа x1, x2.
Бросаем в «мясорубку» только те числа, при которых наше алгебраическое выражение осмысленно. Назовем множество этих чисел областью определения и обозначим буквой D, а само правило, нашу «мясорубку» - функцией, обозначается f (x). Множество чисел y1, y2, … назовем множеством значений функции и обозначил его Е. Заметим, что какое бы число мы не бросили в «мясорубку», вылезет только одно число. Другими словами, каждому значению из D соответсвует единственное из E.
Разумеется, мы стремимся к строгости в изложении. И на школьных уроках это худо-бедно осуществимо⁵. Но на дополнительных занятиях нет физически никакой возможности повторить всё то, что должно было быть доказано в школе за годы обучения математике. Компромиссом является формулировка знакомых теорем и доказательство того, что выходит за рамки школы. Иногда имеет смысл доказывать известные ребятам теоремы в случае, если сами доказательства красивые, нестандартные и поучительные.
При доказательствах того или иного факта обращаю особое внимание на «изюминку» доказательства. То, без чего доказательства не было бы. Я не говорю им сама, что главное, я прошу ответить их на вопрос: «За счет чего получилось доказать теорему?» Чаще всего они могут выделить главное и без моей помощи.
Логические задачи
"Цель математической строгости состоит в том, чтобы санкционировать и узаконить завоевания интуиции".
Жак Адамар, французский математик.
Школьный курс геометрии - пример научной теории. Именно на геометрию в школьном курсе математики взваливается ноша логического ликбеза. Но геометрия начинается в 7-ом классе - готов ли 7-классник к научной теории, со всей её строгостью и формализмом? Разумеется, нет. Часто от школьника, который только приступил к изучению геометрии, можно слышать такой вопрос: «Зачем доказывать, что треугольники равны, если по рисунку видно, что они равны?»
Хорошей подготовкой перед изучением геометрии является курс по решению логических задач⁸ в 5-6 классах. Решая такие задачи, ребенок привыкает к необходимости доказательства, учится обосновывать свой ответ на поставленный вопрос. Полный перебор случаев, установление соответствия между множествами, доказательство от противного - вот некоторые примеры того, что лучше сначала отрабатывать на знакомых объектах, а не новых - биссектрисах и медианах.
Логические задачи лучше решать устно: тогда дети концентрируются на логике рассуждения, не отвлекаясь на оформление. Такие задачи еще можно решать в игровой форме, которая нравится как ученикам средней, так и старшей школы.
Логические задачи сейчас решаются в 5-6 классах в математических школах, в профильных классах, там, где учатся дети с высокими способностями. Такие дети с большей легкостью воспринимают абстрактную теорию в виде геометрии. Им в меньшей степени, чем остальным, нужна предварительная подготовка. Но с ними она проводится, а в обычной школе, там, где она остро нужна, её как раз нет.
Эксперименты на уроках математики
Иногда я слышу такую фразу: "Математика - это не наука сама по себе, она инструмент для других наук". К сожалению, приходится слышать это не только от школьников, но даже и от людей с высшим техническим образованием. Объясняю это так: авторам данных слов просто не показали, что математика гораздо шире и прекраснее скудной роли инструментария, отводимого ей.
«Геометрия – это искусство хорошо рассуждать на плохом чертеже», - Эвклид
Перед формулировкой новой теоремы полезны лабораторные работы. Почему-то слово «лабораторная» ассоциируется прежде всего с физикой и химией. Но ведь на математике они не менее важны. Например, прежде чем доказывать, что медианы пересекаются в одной точке, можно предложить школьникам порисовать разные треугольники и провести в них медианы. Важно особо подчеркнуть, что треугольники должны быть разные: попросите школьника нарисовать треугольник - он нарисует равнобедренный! Выполняя такие эксперименты, ребенок учится замечать закономерности и строить гипотезы, то есть проходит через естественные для науки этапы самостоятельно. Он еще не знает, что медианы пересекаются в одной точке, он откроет это сам. Останется его подвести к мысли, что «медианы пересекаются в любом треугольнике в одной точке» - это лишь версия, мы не можем нарисовать все возможные треугольники и нет гарантии, что не найдется такого треугольника, для которого это не выполнено.
Недавно в разговоре с восьмиклассницей я в контексте чего-то другого произнесла: «треугольников бесконечно много». Она искренне удивилась этому факту, она сказала: «Что, правда?!» Эта девочка к тому моменту изучала геометрию более полутора лет…
После того, как осознанно, что все треугольники мы перебрать не можем, появляется необходимость в доказательстве. Я устраивала такую лабораторную, причем еще просила посчитать, в каком отношении медианы делятся точкой пересечения*. Так вышло, что после доказательства этой теоремы и пары задач на нее, мы достаточно долгое время не сталкивались с ней. Но позже, когда попалась задача, в которой фигурировали медианы треугольника, ребята легко вспомнили и применили нужную теорему. Раньше такой памяти они не демонстрировали. Обычно, если проходит месяц-другой, и теорема никак не используется, то она забывается. Я думаю, причина в том, что ребята прочувствовали эту теорему.
*Медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Альберт Эйнштейн: "Если Евклиду не удалось зажечь ваш юношеский энтузиазм, значит, вы не рождены быть учеными».
Перед доказательством теоремы или разбором новой задачи я даю детям время на её осознание и самостоятельные попытки продвинуться в решении. Потом мы обсуждаем версии, и далее либо я, либо кто-то из учеников рассказывает решение. Слушать разбор задачи гораздо полезнее, если сначала ты подумал, как бы сам решал задачу. Если ты ее решил - хорошо, теперь послушай более красивое решение (или такое же?).
Например, школьники легко сами доказывают свойства и признаки параллелограмма. Кстати, о свойствах и признаках. Можно привести пример со слоном для того, чтобы было понятнее, чем отличается одно от другого. Представим, что перед нами слон. У него есть четыре конечности, хвост и уши. Верно ли обратное утверждение: что если перед нами животное, у которого четыре конечности, хвост и уши, то это непременно слон? Нет. Конечности, хвост и уши не являются признаками слона - это его свойства. А признаком слона, как говорят биологи, является хобот. Слон - единственное животное, у которого есть хобот.
Сильно украшают уроки математики этюды и софизмы⁹. В видеоуроке рассказала об одном из своих любимых софизмов "Четвёртый признак равенства треугольников".
Нас учили по-другому
Я слышу фразу "Нас учили по-другому" от своих учеников иногда. Нас действительно учили в школе по-другому. Вспоминаю, что когда, уже будучи старшеклассницей, я наткнулась на «Занимательную геометрию» Якова Перельмана и с увлечением почитала книжку, я подумала: "Почему же нас в школе так не учат?" А когда я начала учить, у меня появилась мечта - провести занятие геометрией с детьми в духе Перельмана. И вот совсем недавно моя мечта сбылась: дети из Летней школы МФТИ определяли высоту деревьев в округе, используя знания о равенстве и подобии треугольников.
Я не была уверена, что им будет это интересно, тем более что в школе объединили 7 и 8 классы. Но то, с каким увлечением и прилежанием они проводили измерения и расчеты, превзошло все мои ожидания. В конце занятия мы сели вкруг на скамейки, и я попросила их ответить на вопрос: «Что нового я сегодня узнал?» Звучали очень сознательные ответы: «Я научилась определять высоту деревьев в походных условиях. Возможно, мне когда-нибудь это пригодится», «Я научился применять знания геометрии в реальной жизни», «Я получил опыт работы в команде (ребята выполняли задание парами), работы на общий результат, коммуникации с партнером». А в конце, когда они расходились, добавляли: "Большое спасибо, было увлекательно». И им действительно было!
Могу и хочу
Безусловно, как бы мы ни старались, найдутся дети, которым наш предмет не интересен, которые отсиживают уроки, не выполняют домашних заданий и, соответственно, нет никакого прогресса. Справедливо ли тратить время и силы на «сытых» до знаний, когда вокруг много «голодных», заинтересованных, тех, кто, возможно, смог бы добиться успеха? Тут, конечно, нужна еще работа с родителями. Одна наша преподавательница в институте психоанализа, одна из самых опытных детских психоаналитиков в нашей стране, говорила: «Не бывает «трудных детей» - бывают «трудные родители». Часто родители записывают своих детей на те или иные дополнительные занятия или отдают в профильные школы, потому что сами через это прошли и считают, что это хорошо. Или же, наоборот, потому что у них самих добиться в этом успеха почему-то не получилось, и теперь они хотят от своих детей, чтобы хотя бы те наверстали упущенное. Т.е. проецируют свою личность на личность своих детей, ну а у детей могут быть совершенно другие способности и интересы, и дети вовсе не обязаны идти по стопам своих родителей или осуществлять мечты своих родителей - они имеют право на свои мечты, свой путь, свои победы и поражения, на свой жизненный опыт в конце концов.
Способность - качество, характеризующее успешность выполнения той или иной деятельности. Способности определяются природой, мы не можем на них повлиять. Так же, как мы не можем повлиять на цвет своих глаз или группу крови.
Своим ученикам, близким к окончанию школы, я говорю, что будущую специальность надо искать на пересечении двух множеств: первое множество - это множество «МОГУ» ваших способностей, т.е. того, что у вас получается лучше всего и при этом легко (не через пот и слезы). Второе множество «ХОЧУ» ваших интересов, то, чем хочется заниматься (а не заставлять себя). Кто-то возразит, что еще должно быть множество «Приносит деньги», т.е. такие специалисты должны быть востребованы на рынке труда. Но здесь легко привести контрпример: дело в том, что прогнозировать, кто же будет востребован на рынке труда лет через 6-7 (когда наши выпускники окончат институт) очень трудно. Так «попали» те абитуриенты, которые в начале 2000-х шли на экономические специальности (а это было очень модно, считалось, что это престижно, и школьники массово шли на экономистов). А потом, как раз к их окончанию, случился мировой финансовый кризис, и сокращали экономистов даже опытных. А выпускники, имеющие только диплом, совершенно без опыта работы даром никому не были нужны - для них просто не было задач.
Что же касается меня, то хочется привести слова из речи Стива Джобса перед выпускницами Стэнфорда: «Я люблю делать то, что я делаю, и я делаю то, что я люблю».
Благодарности
Хочу поблагодарить преподавателей, которые любезно разрешали мне посещать их уроки и делились своим опытом, а также тех, у кого я сама училась: Карлов М.И., Кузнецов В.Б., Бессонов В.А., Рождественский Д.С., Агаханов Н.Х., Максимов Д.В., Сгибнев А.И., Алексеенко Д.
¹ Джефф Петти. Современное обучение.
Волкова А.А. Проблемы мотивации школьников 7-9 классов. Сборник «Учим математики», МЦНМО, 2006
² Я говорю о том, что видела своими глазами. Недавно в сети появилось эссе американского математика на эту же тему: Пол Локхарт «Плач математика».
³ На Физтехе существует традиция среди студентов: в ночь перед экзаменом ходить по студенческому городку с криками «Халява, приди!»
⁵ Шень А. О «математической строгости» и школьном курсе математики. МЦНМО, 2011
⁸ Раскина И.В., Шноль Д.Э. Логические задачи. МЦНМО, 2013
© Наталья Колесник. 2016-2022 г. Все права защищены. Перепечатка и цитирование материалов запрещены.
#репетитор по математике #кэллипсо #школа-студия выпускницы МФТИ #подготовительные курсы