В этой заметке разберем одну интересную задачу по физике из раздела кинематики. Задача со звездочкой (*), поэтому выходит за рамки школьной программы по физике. В ЕГЭ такую задачу вы не встретите, а вот в олимпиаде вполне может быть.
Существует множество задач по физике, связанных с движением самолета, учетом ветра. Какие-то их них совсем простые, на сложение векторов, лежащих на одной прямой, какие-то сложнее. Данная задача заслуживает внимания, потому что здесь пересекается физическое понимание процесса, геометрия, а также анализ поведения функций, который необходимо использовать, чтобы избежать решения через производные.
Итак, приступаем...
Задача
Самолет совершает прямой и обратный рейсы между двумя населенными пунктами. При каком направлении ветра относительно трассы время полета будет максимальным? минимальным? Ответ обосновать.
Решение:
Для начала сделаем рисунок, чтобы задача приобрела какую-то долю наглядности. У нас будет два движения: из пункта А в пункт B и обратно.
Здесь красным вектором Vс обозначена собственная скорость самолета. Она постоянна по модулю, а направление может меняться так, чтобы результат её сложения со скоростью ветра был направлен по прямой, соединяющий пункты A и B.
Синим вектором Vв обозначена скорость ветра, которая для нашей задачи имеет постоянный модуль и постоянное направление под некоторым углом α к прямой L, соединяющий пункты A и B.
Зелеными векторами Vтуда и Vобратно представлены результирующие абсолютные скорости с учетом действия силы ветра.
α - угол между скоростью ветра и направлением прямой L, соединяющий пункты A и B.
Нам нужно общее время движения. Оно будет складываться из времени движения туда и времени движения обратно:
С учетом сохранности расстояния (длины траектории, по которой двигается самолет), распишем данные времена:
Для движения в прямом направлении:
Чтобы найти скорость Vтуда, используем теорему косинусов.
Перепишем это так, чтобы больше было похоже на квадратное уравнение относительно нужной нам скорости:
Учтем основное тригонометрическое тождество, которое понадобится при упрощении дискриминанта:
Найдем дискриминант:
В общем виде, у квадратного уравнения имеются два действительных корня. Но мы должны понимать, что наша задача привязана к физике, и так как мы решаем в модулях, то поэтому скорость должна получаться строго больше нуля.
Первый корень получается таким:
Учтем, что скорость ветра может иметь минимальное значение 0, максимальное значение равное собственной скорости самолета. Подставим эти граничные условия, чтобы понять подходит ли нам первый корень уравнения:
Первый корень подходит. Аналогично рассматриваем второй корень, который идет со знаком «-» перед корнем из дискриминанта:
Второй корень дает некорректные результаты на граничных условиях скорости ветра, поэтому мы его отбрасываем.
Итак, абсолютная скорость по направлению ветра получается следующей:
Для движения в обратном направлении:
Движения обратно рассматриваем точно также, из геометрии с использованием теоремы косинусов.
По аналогичным причинам оставляем только наибольший корень уравнения:
Сбор данных и составление функции общего времени:
У нас получилась следующая функция:
Очевидно, что варьируемой переменной является угол α. Функция корня является возрастающей. Под корнем у нас разность. Разность тем больше, чем меньше вычитаемый квадрат синуса из постоянной собственной скорости самолета в квадрате. Поэтому максимальное время получится при минимальном значении синуса под корнем. Минимальное время получится при максимальном значении синуса под корнем.
Задача решена.
Понравилась задачка? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram
