Найти тему
Репетитор IT mentor

Олимпиадная задача по физике про самолёт

Оглавление

В этой заметке разберем одну интересную задачу по физике из раздела кинематики. Задача со звездочкой (*), поэтому выходит за рамки школьной программы по физике. В ЕГЭ такую задачу вы не встретите, а вот в олимпиаде вполне может быть.

Существует множество задач по физике, связанных с движением самолета, учетом ветра. Какие-то их них совсем простые, на сложение векторов, лежащих на одной прямой, какие-то сложнее. Данная задача заслуживает внимания, потому что здесь пересекается физическое понимание процесса, геометрия, а также анализ поведения функций, который необходимо использовать, чтобы избежать решения через производные.

Итак, приступаем...

Задача

Самолет совершает прямой и обратный рейсы между двумя населенными пунктами. При каком направлении ветра относительно трассы время полета будет максимальным? минимальным? Ответ обосновать.

Решение:

Для начала сделаем рисунок, чтобы задача приобрела какую-то долю наглядности. У нас будет два движения: из пункта А в пункт B и обратно.

-2

Здесь красным вектором Vс обозначена собственная скорость самолета. Она постоянна по модулю, а направление может меняться так, чтобы результат её сложения со скоростью ветра был направлен по прямой, соединяющий пункты A и B.

Синим вектором Vв обозначена скорость ветра, которая для нашей задачи имеет постоянный модуль и постоянное направление под некоторым углом α к прямой L, соединяющий пункты A и B.

Зелеными векторами Vтуда и Vобратно представлены результирующие абсолютные скорости с учетом действия силы ветра.

α - угол между скоростью ветра и направлением прямой L, соединяющий пункты A и B.

Нам нужно общее время движения. Оно будет складываться из времени движения туда и времени движения обратно:

-3

С учетом сохранности расстояния (длины траектории, по которой двигается самолет), распишем данные времена:

-4

Для движения в прямом направлении:

Чтобы найти скорость Vтуда, используем теорему косинусов.

-5

Перепишем это так, чтобы больше было похоже на квадратное уравнение относительно нужной нам скорости:

-6

Учтем основное тригонометрическое тождество, которое понадобится при упрощении дискриминанта:

-7

Найдем дискриминант:

-8

В общем виде, у квадратного уравнения имеются два действительных корня. Но мы должны понимать, что наша задача привязана к физике, и так как мы решаем в модулях, то поэтому скорость должна получаться строго больше нуля.

Первый корень получается таким:

-9

Учтем, что скорость ветра может иметь минимальное значение 0, максимальное значение равное собственной скорости самолета. Подставим эти граничные условия, чтобы понять подходит ли нам первый корень уравнения:

-10

Первый корень подходит. Аналогично рассматриваем второй корень, который идет со знаком «-» перед корнем из дискриминанта:

-11

Второй корень дает некорректные результаты на граничных условиях скорости ветра, поэтому мы его отбрасываем.

Итак, абсолютная скорость по направлению ветра получается следующей:

-12

Для движения в обратном направлении:

Движения обратно рассматриваем точно также, из геометрии с использованием теоремы косинусов.

-13

По аналогичным причинам оставляем только наибольший корень уравнения:

-14

Сбор данных и составление функции общего времени:

-15
-16

У нас получилась следующая функция:

-17

Очевидно, что варьируемой переменной является угол α. Функция корня является возрастающей. Под корнем у нас разность. Разность тем больше, чем меньше вычитаемый квадрат синуса из постоянной собственной скорости самолета в квадрате. Поэтому максимальное время получится при минимальном значении синуса под корнем. Минимальное время получится при максимальном значении синуса под корнем.

-18

Задача решена.

Понравилась задачка? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно :)

Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK

Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram