Спросите первокурсника физ-мата, что он боится больше всего на парах математического анализа? Взятие производной? Нееет.. Табличный интеграл?! Да-к он же табличный, бери и делай.. Посчитать предел? Гийом Франсуа Лопиталь нашел формулу, которая уничтожает большую часть сложных пределов... Как на счет аналитического нахождения суммы ряда? Вот это может стать по-настоящему запутанной задачкой для учащихся, которые только закончили 11-й класс...
Сегодня мы и займемся одной из таких задачек. Увидели ряд на превью со знакомой картинкой Фреско? :) Ну надо же было как-то привлечь Ваше внимание!
Итак, как найти сумму такого ряда? Нужно выявить общие закономерности. Причем выявить их так, чтобы что-то с чем-то сокращалось, оставались только начальные и конечные члены ряда, а что-то, может быть, образовывало сумму геометрической прогрессии...
Но если мы возьмем черновик и карандаш, а потом попробуем покрутить этот ряд, то там ничего не будет сокращаться. Не просто так он показался мне интересным.
На самом деле, ничего красивого из этого ряда не получается. И даже аналитическое решение будет грешить приближенными формулами, за которыми кроются десятки часов работы Леонардо Эйлера и Лоренцо Маскерони около 1740 года.
Что ж, давайте попробуем решить эту задачку наиболее коротким аналитическим путем, опуская доказательство приближенной формулы. А потом проверим численным моделированием.
Решение:
1. Сначала представляем текущий член ряда k/(k+1) в более удобном виде.
2. После нескольких группировок, добиваемся того, что наш ряд представляет собой разницу между знаменателем конечного числа и гармоническим рядом из первых 101 элементов.
3. Используем 3 первых члена разложения в приближенной формуле Эйлера для представления гармонического ряда.
4. В константе Эйлера — Маскерони берем первые 10 знаков после запятой
5. Считаем сумму нашего ряда через полученное приближение.
Численное моделирование (код на C++)
Как видим, формула дает очень даже неплохую оценку. Точности до 4-го знака после запятой всегда достаточно для практически любых математических вычислений*.
(*) В отдельных ситуациях из-за неточности после запятой, в программе, где участвуют большие масштабирующие коэффициенты, ошибка в вычислениях может накапливаться и приводить к плохим последствиям. Но каждую задачу нужно разбирать отдельно.
Понравилась задачка? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram