Приветствую Вас!
Поговорим о "замене", которая просто необходима для решения уравнений и неравенств из профиля ЕГЭ второй части. Но, чтобы было понятнее, рассмотрим ее на более простых примерах. Она хороша и для логарифмов, и для тригонометрии, и показательных историй.
Итак, начнем. К примеру, необходимо решить такое уравнение:
Первое, что приходит на ум многим ребятам - это раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю итд итп. Безусловно, можно пойти и этим путем, получить по итогу уравнение четвертой степени, которое не каждому под силу. Здесь лучше поступить так:
Как видно, мы пришли к решению двух дробно рациональных уравнений относительно икса, приведя которые к общему знаменателю, и откинув оный, получаем обычное квадратное уравнение:
Данное уравнение было дано, так сказать, в "явном виде", т.е., в одной скобке стояла сумма, а во второй сумма в квадрате. Таких уравнений бывает мало, а на экзамене их нет и вовсе. Рассмотрим вариант, когда нужно собрать в скобки и произвести ту же замену. Допустим, такое уравнение:
В данном случае нужно подметить квадратные слагаемые, т.е. где х^2 и слагаемые первой степени, где просто икс, и вынести общий множитель за скобки:
Заметим, что во второй скобке стоит разность. Это ничего не меняет. Так как при ее возведении в квадрат получится необходимая сумма квадратов:
Теперь усложним задачу и рассмотрим уравнение, которое присутствует на ЕГЭ:
Как видно, здесь также присутствуют два квадратных слагаемых и два первой степени, поэтому можно применить ту же замену, не смотря на то, что слагаемые дробные и сложные.
Обратите внимание, что квадратная замена домножается на 5. Это сделано для того, чтобы совпали коэффициенты у квадратных слагаемых с теми, которые даны в уравнении изначально. В общем, с заменами можно мудрить, т.е. умножать их, делить, прибавлять что-либо. Ведь сама замена, это уравнение по сути, т.к. в ней присутствует знак =.
Важно! Все эти движения выполняются с обоими частями замены (левой и правой), с каждым слагаемым, а не только в том месте, где вам захотелось(!)
Рассмотрим как работает вся эта история в показательных выражениях. Вот один из популярных примеров, блуждающих по профилю:
Обратите внимание, что здесь, при замене, ставится ограничение для t. В данном случае t>0, т.к. 5 в любой степени положительна. Теперь подставим замену и решим. Приведу решение полностью, т.к. это неравенство, и оно содержит в себе некоторые нюансы:
Думаю смысл замены понятен. Ее также можно применять для любых других функций, как логарифмических, так и тригонометрических.
Благодарю за внимание..