Здравствуйте, дорогие читатели! Во время изучения математики, мы часто сталкиваемся с системами уравнений. Однако, мне крайне редко попадаются системы тригонометрических уравнений. Чаще всего, решаются системы алгебраических уравнений. Поэтому, я решила поделиться с Вами этой редкой находкой.
Ранее, я уже разбирала некоторые задания, связанные с вычислением тригонометрических выражений и их упрощением. Ссылки на эти статьи будут приведены после решения сегодняшнего задания.
Система уравнений записана ниже:
Вы находитесь на канале Trifler, где я разбираю интересные математические задачи, а также рассуждаю на некоторые околоматематические темы. Если Вы искренне увлечены математикой, но еще не подписаны на этот канал, то самое время это исправить! Подписаться
Попробуйте решить этот пример самостоятельно! Если окажется, что Вы нашли более простое решение, пожалуйста, поделитесь им в комментариях. Мне будет интересно ознакомиться с другими подходами к решению этой системы.
Решение
Несмотря на редкость таких примеров, решаются они довольно просто. Нужно ввести замену и свести нашу систему к системе привычных алгебраических уравнений.
Введем следующие обозначения:
Теперь нужно выразить и другие величины, которые присутствуют в системе, через введенную замену. Использовав формулу основного тригонометрического тождества, получим такие равенства:
Подставляем все это в исходную систему уравнений:
Как видите, мы получили очень простую систему, решение которой не составляет труда. Преобразовываем второе уравнение системы, используем формулу разности квадратов:
Подставляем значение из первого уравнения во второе и получаем решение системы алгебраических уравнений:
Возвращаемся к замене и решаем элементарные тригонометрические уравнения:
Таким образом, чтобы добраться до ответа, нам понадобилось всего лишь ввести простейшую замену.
Дорогие читатели, хотела бы поделиться с Вами ссылкой на недавнюю статью, в которой я рассказала об интересном роботе, которые помогает детям изучать математику. Думаю, что Вам будет интересно узнать об этом:
Quincy: робот, который обучит Ваших детей математике, английскому и рисованию
Если Вам понравилась статья, то обязательно ставьте лайки и комментируйте ее. Это поспособствует тому, чтобы ее увидело много людей!
Другие задания по тригонометрии: