В день знаний премьер-министр Михаил Владимирович Мишустин предложил лицеистам лицея им. Капицы задачу на построение, которую они не решили. (Потому что бизнес-аналитикой занимались.)
Дано: окружность с проведенным диаметром AC и точка D, лежащая на окружности.
Требуется: с помощью линейки без делений провести перпендикуляр из точки D к диаметру.
Если бы точка не лежала на окружности, задача решалась бы совсем просто. И правда, пусть точка В лежит вне окружности. Соединим ее с концами А и С диаметра и получим точки Е и D.
Вписанный угол АЕС опирается на диаметр, и поэтому прямой. СЕ -- высота в треугольнике АВС, АD -- тоже высота. Все высоты треугольника АВС пересекаются в одной точке, обозначим ее О. Остается провести прямую ВО. На этой прямой лежит высота к АС, а потому ВО⊥АС.
Этой идеей можно воспользоваться, чтобы провести перпендикуляр из D на диаметр АС.
Проведем луч СD, отметим на нем точку В и опустим перпендикуляр ВО на АС, как только что сделали. Этот перпендикуляр пересекает окружность в точках О₁ и О₂.
Продлим луч DО₁ до пересечения с прямой АС, пусть это будет точка М. И проведем луч МО₂. Он вторично пересекает окружность в точке F.
Точки О₁ и О₂ симметричны относительно прямой АС, поэтому и лучи МО₁ и МО₂ симметричны относительно прямой АС. Окружность симметрична сама себе, поэтому точки D и F тоже симметричны. А тогда прямая DF перпендикулярна прямой АС; DF и есть искомый перпендикуляр.