Синхронизация часов при вращении, как известно, невозможна. Давайте разберемся, почему. Вообще, тема раскрыта в Википедии достаточно полно, но изложение там весьма сложное, требует квалификации. Я попробую попроще.
Итак, работаем в "лабораторной" системе отсчета, которая не вращается. Есть вращающееся кольцо радиуса r и угловой скоростью ω. Каждая точка кольца имеет скорость v=ωr, а направление скорости касательное к кольцу в данной точке.
Ось времени в системе отсчета, привязанной к точке кольца, наклонена: это вектор (1, ωr). В самом деле, за бесконечно малое время dt по лабораторным часам точка пройдет ωrdt единиц длины, что и дает скорость ωr.
И так в каждой точке кольца.
Мы хотим определить линию одновременности, то есть линию, которая одновременна сразу всем точкам кольца. Это линия, которая перпендикулярна к оси времени местной системы отсчета. Иными словами, к векторам (1, ωr) в каждой точке кольца.
Вектор, ортогональный (перпендикулярный) вектору (1, ωr) в смысле метрики Минковского есть вектор (ωr, 1). В самом деле, перемножим первые компоненты, вторые и вычтем: будет нуль.
Стало быть, этот вектор (ωr, 1) касательный к нашей линии одновременности в каждой точке кольца. Сама линия определяется как U(t, φ) = const, причем частные производные от U совпадают с компонентами вектора. Константу С можно принять за нуль, ибо она означает просто начало отсчета времени.
Функцию U несложно определить: это U(t, φ) = ωrt + φ. Получается линия одновременности t=C-φ/(ωr). Событие в точке с угловой координатой φ в момент времени C-φ/(ωr) одновременно событию в точке φ=0 при t=C.
Вот мы и синхронизировали часы. Однако координата φ является "координатой" лишь локально, или на не слишком больших интервалах. На больших она зацикливается. Так, взяв φ=2π, мы узнаем, что событие в этой точке в момент C-2π/(wr) одновременно событию в точке φ=0 в момент t=C. Но это одна и та же точка.
Получается, что определить одновременность на всем кольце нельзя в принципе, что и означает невозможность синхронизировать часы (если не допускать многозначное время).
Однако, как видно из рассуждения, невозможность задать одну для всех одновременность связана с невозможностью задать однозначную угловую координату. И никак отсюда не выкрутиться: ну, не накрывается многообразие "окружность" одной картой, не накрывается.
Ровно то же самое происходит на Земле при попытке синхронизировать движущиеся часы: пролетая один часовой пояс в час, у вас по местному времени всегда полдень, тогда как по бортовому прошли сутки. И можно потерять/приобрести день, если жить по местному времени. что блестяще раскрыто в романе "Вокруг света за 80 дней".
А как быть с физической синхронизацией?
Если пускать сигнал по окружности, то двух наблюдателей соединяют две дуги разной длины, и они равноправны. Если выбирать всегда короткую, то можно синхронизировать часы с другим, тот с третьим, а он опять с первым, и результаты будут отличаться от прямой синхронизации первого с третьим (потому что сигнал пошел по длинной дуге).
Если пускать сигнал по прямой, то те же проблемы: синхронизация через третьего "все портит".
Наконец, что, если устроить вспышку в центре? Ее свет все увидят одновременно и синхронизируют свои часы!
Одновременно в неподвижной системе отсчета, да. Но неодновременно в системе отсчета подвижного наблюдателя. Ведь в ней фонарь в центре движется и другие наблюдатели движутся (причем с другими скоростями, не такими, как у фонаря).
В общем, никак. Проблемы здесь нет, потому что при встрече двух симметрично двигавшихся наблюдателей их часы показывают одно время: парадокса не возникает.
Скоро мы рассмотрим решение Гёделя уравнения ОТО: там тоже имеет место вращение и невозможна синхронизация. Стало понятнее, почему?