Отвечаю на вопрос о планковских единицах. Итак, вот у нас есть фундаментальная константа: скорость света, с. Она позволяет измерять длину в световых секундах и, таким образом, убрать размерность длины вообще и заодно убрать константу с из уравнений: она станет равна единице. Разовьем этот подход.
Будем обозначать размерности так: [L], [M], [T] для длин, времен и масс. Размерность, или единицу измерения, можно выбрать как угодно: это инвариантность к системе единиц.
Скорость света позволяет выразить [L]=c[T].
Теперь берем другую фундаментальную константу: гравитационную постоянную G. Ее размерность мы не помним, поэтому выведем. Сила по закону Ньютона есть GMm/R², а ускорение GM/R² и оно имеет размерность [L]/[T]², что дает равенство
[L]/[T]² = G[M]/[L]², или G = [L]³ / ([M] [T]²).
Используя соотношение выше, устраним длину: G = c³ [T] / [M]. Тогда можно выразить единицу массы через единицу времени: [M] = [T] c³ / G.
В принципе, на этом можно и остановиться, ибо в классике других констант нет. Можно длины и времена измерять в килограммах, или массы и длины в секундах. Это не более дико, чем цены в УЕ, которые кое-кто из моих читателей, надеюсь, помнит. У нас хоть "обменный курс" постоянный.
Смысл световой секунды достаточно ясен, а что такое масса в одну секунду? Это масса, равная c³/G килограмм. Она придает ускорение в одну световую секунду в секунду за секунду телу на расстоянии в одну световую секунду. Это порядка ста тысяч солнечных масс.
А можно начать от массы и измерять длины в килограммах. Что такое длина в 1кг? Ну, это расстояние, которое свет пройдет за время в один кг. А время это численно равно G/c³ секунд.
Гравитационный радиус, например, равен удвоенной массе звезды в этой системе единиц.
Но у нас есть еще одна фундаментальная константа! Это постоянная Планка h. Ее размерность есть энергия, умноженная на время. Энергия (вспоминаем формулу Эйнштейна) есть [M][L]²/[T]², что сводится к [T]c⁵/G. Тогда h=[T]²c⁵/G, откуда получаем все размерности:
Это и есть планковские единицы. Выраженные полностью через фундаментальные константы. Они не очень удобны для практики (длина и особенно время очень уж малы), но удобны для теории, так как в этой системе единиц константы все равны единице и уравнения проще. Хотя есть и более удобные системы единиц.
Планковская длина невероятно мала: порядок -35 (метра), что намного меньше, например, протона (порядок -15). Протон в сравнении с планковской длиной выглядит как планета в сравнении с протоном (размер планеты имеет порядок 6 в метрах, то есть миллионы метров). Протон больше планковской длины на 20 порядков, Земля больше протона на 21 порядок.
Кое-где продают "метр пива". Посчтайте, сколько литров пива в одном метре, если литр пива имеет массу в один килограмм.
А планковская масса не слишком и маленькая: порядок -8 килограмма, то есть сотые части миллиграмма. Это песчинка, не самая крупная, но и далеко не самая мелкая. Но в терминах энергии это на 17 порядков больше, то есть порядок 9 в джоулях. Гигаджоуль. Запомним это...
Считается, что планковская длина фундаментальна, и на масштабах меньше перестают работать законы физики. В этом есть смысл. Например, прикинем энергию кванта с такой длиной волны: в 1 планковскую единицу длины. Если длина волны 1, то частота ν=1. Энергия mc² есть hν, то есть просто 1. Этой энергии соответствует численно равная ей масса, тоже 1. Гравитационный радиус тогда равен 2, то есть больше длины волны. Квант станет черной дырой.
Так что в самом деле, на таком масштабе нужна квантовая гравитация. Тем более, что по принципу неопределенности нельзя точно локализовать частицу и определить ее импульс. Произведение погрешностей не меньше h, то есть не меньше 1. Если мы загоним частицу в яму единичной ширины, то импульс у нее будет тоже единичный или даже больше. Но энергия частицы численно равна импульсу в наших единицах, а мы уже выяснили, чем это чревато. С другой стороны, тот же принцип гласит, что неопределенность энергии так же связана с неопределенностью времени: на очень малых масштабах времени энергия может браться из неоткуда и потом исчезать. Если время определено с точностью до 1, то энергия может тоже достигать единицы, ну и вы поняли: будут самопроизвольно возникать черные дыры.
Если планковскую энергию (гигаджоуль, порядка 30 КВт-часов) сосредоточить на одном кванте, то опять-таки будут проблемы, ибо длина его волны станет планковской...
Так что в самом деле: планковская длина минимально возможная (по порядку величины), как и планковское время. Планковская масса/энергия есть максимальный предел для массы/энергии кванта. И так далее! Планковской скоростью можно назвать скорость света и это тоже максимальный предел. Можно ввести планковскую силу, ускорение, объем, давление, температуру и что хотите, и всё это будет иметь характер максимума или минимума, при тех или иных оговорках.
