Долгое время была уверена, что всё дело в практике. Дай ребенку сто примеров по теме, сделает - поймёт. Наивная мысль.
Проведём мысленный эксперимент. Ученик решает сто примеров по теме сложение одночленов. Складывает и складывает. Всё правильно. Затем даём ему пример: 5с + 4d.
Ответ: 9cd.
Что произошло? Алгоритм отточен. Навык сформирован. Есть числа - складываем. Надрессировали. Но понимание не возникло. Под этим алгоритмом, нет сути. Объёмного представления о том, что такое одночлены и, что значит сложить два одночлена.
Что такое 5c? Одночлен. Произведение числа буквы и степени. Прекрасно! Но о чём разговор? Произведение это как? Взяли два числа, умножили в столбик, получили третье число. Всё формально и опять по алгоритму. Да и бог с ним. Но как умножить число на букву? Швах.
Зайдём с другого бока. Зачем нужны буквы в математике? Вроде бы все знают, что эта наука имеет дело с числами. Хотя это давно не так, но не будем углубляться в историю.
Число - известное количество. Пять яблок, семь конфет, три землекопа. Можно себе представить. А x яблок? Есть яблоки, но сколько их непонятно. Может ноль. Тогда странно говорить, что яблоки есть. А может это лишь часть яблока? Неизвестное количество.
Умножим известное на неизвестное. 5с. Что получилось никто не знает, но есть действие. Умножение. И к нему подтягиваем свойства. Коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность. Стоп!
Последнее не сюда. Точнее и сюда тоже. Но там еще одно действие - сложение. И опять же со своими свойствами.
Смотрим на весь набор и пытаемся понять, можно ли сложить 5с + 4d. Не работает. Но если знак "+" стоит значит складываются? Возвращаемся к разговору про известное и неизвестное. Два неизвестных количества сложить не представляется возможным.
Хотя в примере 5d + 4d = 9d получилось. Одно и тоже неизвестное количество можно найти разными способами. Равносильными. То есть неважно, как считать 5d + 4d или 9d. Результат будет одинаков. Благодаря той самой дистрибутивности.
Усложним задачу: 5cd + 4dc. Если есть понимание, что здесь происходит, то можно записать 5cd + 4dc = 9cd.
А когда понимания нет? Если отправится в мир математики не зная основных законов, как он устроен, можно накуролесить страшных вещей. Придумать собственные правила или вообще не следовать никаким правилам. Когда что-то такое происходит в реальной жизни, последствия не заставляют себя долго ждать. Не соблюдение правил дорожного движения приводит к угрозе жизни и здоровью.
Мир математики, тем более школьной, гораздо более терпелив. Самое страшное, что грозит - двойка за контрольную. В этом мире сопротивляется не реальность, а люди, которые являются носителями знаний. Без них можно было делать всё что угодно.
По идее сопротивление должно приводить к пониманию. Но что-то сломалось. Всем стало всё равно. Последствия не пугают, а личное мнение о действительности стало цениться больше, чем сама действительность.