Зачин
Жили были методист дед и методист баба.
"А придумай мне задачку на гармонические колебания" - говорит методист дед.
"Да где ж задачку взять, данных то никаких нету?" - сокрущается методист баба.
"Ну ты по задачникам поскреби, по пособиям посмотри, авось и найдется" - продолжает дед.
Взяла методист баба старую задачку и сделала "рерайтинг" (переписала, то есть, если по-русски то сказать, данные подменила на свои цифры). И вот что у нее получилось
Поглядели задачку? Решили? У вас сколько получилось? Как у методист-бабы? Теперь переходим на первый слой сумрака.
Первый слой сумрака. Умолчания.
Что мы можем сказать, исходя из условий задачи и гляда на табличку? Скорее всего, колебания свободные, раз грузик на пружинке - то близкие к гармоническим. Трением автор задачи пренебрегает (это видно из симметричности таблички). Можно предположить, что положение равновесия соответствует x=0. Видимо, предполагается, что период колебаний больше чем частота измерений. Без всех этих предположений задачка не решается. Одна из проблем - нам достоверно не известно положение шарика в промежуточные моменты времени. Почему мы можем быть уверены, что 15 это максимальное отклонение в данном случае? Если рассмотреть разреженную табличку взяв только моменты времени
t=0; 0.4; 0.8; 1.2; 1.6
x=0; 5; 13; 13; 5,
то амплитуду мы бы установить не смогли. По нашим данным, амплитуда была бы больше 13. Из полной таблички же следует, что амплитуда больше или равна 15. Однако, в силу симметричности данных по отклонениям (x= 0; 2; 5; 10; 13; 15; 13; 10; 5; 2) мы смело можем сделать вывод о том, что амплитуда в точности (в пределах погрешности измерений, конечно) равна 15. Эта симметричность данных может являться следствием гармоничности колебаний (хотя не обязательно - упругий шарик скачущий между двумя стенками, с абсолютно упругим ударом и без трения тоже будет генерировать табличку данных с такой же симметрией). Мы можем воспользоваться симметрией и продолжить наши данные на следующие моменты времени. Получится, что за 2 секунды шарик вернулся к положению равновесия, и дальше стал отклоняться к отрицательным значениям координат, следуя уже измеренному паттерну со сменой знака. Тогда полный период будет 4 секунды, а частота 0.25 Гц.
Ну и зачем было огород городить? А сейчас узнаете!
Второй слой сумрака. Искажения.
Все таки в задачи сказано, что грузик колеблется на пружинке! Значит по умолчанию, вблизи положения равновесия выполняется закон Гука (а по еще большему умолчанию, он выполняется везде и колебания - гармонические). Значит, в положении равновесия потенциальная энергия достигает минимума, а кинетическая энергия - максимума. Значит скорость вблизи положения равновесия должна быть максимальной! Давайте же вычислим (среднюю) скорость шарика по его положениям и моментам времени исходной таблицы.
t=0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1.0; 1.2; 1.4; 1.6; 1.8
x=0; 2; 5; 10; 13; 15; 13; 10; 5; 2,
v= 10; 15; 25; 15; 10; 15; 25; 15; 10.
Получается, максимум кинетической энергии наблюдается между x=5 и x=10. Там то и должно находиться положение равновесия! Но вот из-за дискретизации мы его можем оценить только приблеженно. Шарик колеблется около положения равновесия x=7.5. Тогда амплитуда тоже может быть найдена приблеженно: A=7.5. И оказывается, что за 2 секунды совершается полное колебание (прошли 4 фазы изменения кинетической энергии рост/снижение/рост/снижение). А значит частота на самом деле 0.5 Гц.
Призвав на помощь всю мощь data science можно попробовать методом наименьших квадратов фитировать данные уравнением гармонических колебаний
x(t)=A cos(w t+f)+x0
и найти наиболее точное приближение для амплитуды, частоты, фазы и положения равновесия. Вот что получается
Если загнать в Wolfram Mathematica
data={{0., 0}, {0.2, 2}, {0.4, 5}, {0.6, 10}, {0.8, 13}, {1., 15}, {1.2, 13}, {1.4, 10},{1.6, 5}, {1.8, 2}}
params = FindFit[data, a Cos[w x + f] + a0, {a, w, f, a0}, x]
То получим вот такую амплитуду, частоту фазу и положение равновесия!
{a -> 7.22232, w -> 3.09927, f -> -141.33, a0 -> 7.40459}
Фаза получилась большевата, но она определена с точностью до 2п, поэтому можно взять минимально по модулю значение
f->-3.09949
Вы можете удивиться, почему же максимум пунктирной кривой проходит ниже чем 15 мм? Так получается, потому что мы за основное предположение взяли гармоничность колебаний. Таким образом, возможные погрешности измерений были учтены, чтобы получить лучшее гармоническое колебание согласованное с данными наблюдений. Можно, конечно, наложить дополнительное условие, потребовав чтобы максимум был не ниже 15, а минимум не выше нуля. И это было бы логично, ибо в этих точках скорость шарика минимальна (вблизи нуля) и измерение координат можно выполнить точнее. Но мы итак уже в два раза уточнили амплитуду и частоту по сравнению с некорректным исходным решением.
Третий слой сумрака. Два десятка лет ЕГЭ.
Откуда же условная "методист бабка" взяла эту задачу и почему получился такой конфуз? Если посмотреть варианты ЕГЭ за прошлые годы, то можно найти несколько вариантов этой задачи. Первый по времени вариант который я нашел содержал правильную табличку, вероятно сгенерированную с использованием уравнения гармонических колебаний. Там были и положительные и отрицательные значения отклонений, число измерений соответсвовало периоду и поведение кинетической и потенциальной энергии было согласовано со свободными колебаниями. В следующем варианте этой задачи, чтобы изменить числовые значения, авторы использовали масштабирование - они увеличили амлитуду и пропорционально изменили все значения координат в таблицы. Такое изменение не привело к потери согласованности задачи. Но уже в третьей итерации возникли проблемы. Авторы изменили значения положений с нарушением свойств потенциальной и кинетической энергии, но сохранили свойства симметрии колебаний и привели табличку за весь период колебаний (с положительными и отрицательными значениями х)
t=0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1.0; 1.2; 1.4; 1.6; 1.8; 2; 2.2; 2.4; 2.6; 2.8; 3.0; 3.2 ...
x=0; 2; 5; 10; 13; 15; 13; 10; 5; 2; 0; -2; -5; -10; -13; -15; -13,...
Здесь, конечно, амплитуда 15, а период 4. Но колебания уже совсем не гармонические
И писать в условиях, что шарик колеблется на пружинке я бы не стал. Ну а в четвертой итерации, которую мы с вами и разбирали, оптимизатор от образования сократил табличку до половины. При этом согласованность задачи полностью пропала и физически обоснованный ответ стал в 2 раза отличаться от "методически" обоснованного. В качестве гипотезы, предполагаю, что четвертую итерацию придумывал человек, посвятивший школьные годы подготовке к здаче ЕГЭ и упустивший изучение физики.
PS.
Юнные друзья! Не готовьтесь к ЕГЭ. Учите лучше физику, математику, русский. Это интересно, это полезно, это весело. После этого сдача ЕГЭ превратиться в легкое упражнение.