Приветствую Вас!
Каждый год разработчики ЕГЭ и ОГЭ стараются усложнить задания для экзамена. Если раньше первую часть можно было решить безошибочно, зная относительно элементарные вещи, то теперь нужно обладать более расширенными знаниями, формулами и методами решения, которые мало, или совсем не даются в школе.
Предлагаю разобрать задание №8 по стереометрии из ЕГЭ. Обратите внимание, что это всего лишь первая часть, где требуется дать только ответ, но вычисления довольно громоздкие.
Давайте сделаем для более точного понимания чертеж, обозначим что нам дано и что требуется найти:
Конечно, первое что приходит в голову, это опустить высоту у пирамиды. Именно так и нужно поступить. Опускаем:
Вот если бы был дан косинус, ну или синус на крайняк, да длина не боковой стороны, а апофемы (высота боковой грани), то всё бы делалось в одно действие. А так это испорченная, блин, задача.
Предложу два ее решения. Второе более простое, но требуется знание "тайной" формулы.
Без нахождения косинуса здесь не обойтись, поэтому, кроме формул синуса двойного угла, косинуса двойного угла и, безусловно, основного тригонометрического тождества, хорошо бы иметь в голове вот это:
Плюс ко всему, возьмем и обозначим сторону основания (квадрат, тк по условию она правильная) пирамиды за "а". Понимаю, не очень привычно и не совсем удобно, но, на самом деле это обычная практика. И, лучше бы научиться ею владеть, кто еще не в силах. Итак, приступим:
Кто "шарит" в математике, не так уж и сложно. Только нужно быть внимательным и ничего не упустить.
Ну, а теперь тайная формула, с помощью которой можно облегчить данную задачу. Приводить ее доказательство я не буду. Кому интересно - инет в помощь, или попробовать самому.
- Дело в том, что тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания правильной пирамиды "завязан" с тангенсом угла между боковым ребром и плоскостью ее же основания. То есть:
Применив данную формулу, вычисления становятся проще. Ну, и думаю, вы знаете, что диагональ квадрата равна произведению его стороны на корень из двух). Оооочень полезный информ. А диагональ куба - произведение его ребра на корень из трех - тоже вау!
Теперь решим:
Как-то попроще, согласитесь. Данная формула так же окажется полезной для решения задач из второй части. Главное - уловить суть и запомнить взаимосвязь.
Благодарю за внимание..