Производные без пределов

Сотни лет и день,и ночь вращается
Карусель-Земля,
Сотни лет все ветры возвращаются
На круги своя.

М. Дунаевский.

С помощью вращающейся карусели я объяснил своим студентам-экономистам, как найти производные косинуса и синуса. Чистая геометрия - тригонометрический круг, равномерное вращение и никаких пределов (только касательная и скорость).

Посмотрим на равномерное вращение круга. Возьмем точку на окружности. Пусть радиус круга r=1 (метр), а скорость движения точки v=1 (м/с). Тогда полный поворот совершается за 2 Pi (секунд).

Положение точки на окружности. Скорость это касательный вектор.

В декартовой системе координат, абсцисса и ордината вращающейся точки будут задаваться косинусом и синусом угла поворота. Угол поворота в силу нашего выбора скорости вращения равен времени поворота. Точка на окружности будет двигаться и по горизонтали и по вертикали (не могу использовать слово вектор, так как это по программе изучают позже, хотя многие знают по школьной программе). Из рисунка видно, что скорость по горизонтали это косинус от угла поворота плюс Pi/2 (90 градусов, если угодно). Скорость по вертикали это синус от угла поворота плюс Pi/2.

Формулы для положения и скорости точки на ободе равномерно вращающегося колеса.

Но по определению, скорость и есть производная от положения по времени (предел отношения перемещения к длительности интервала перемещения, когда длительность интервала времени стремиться к нулю). Мы подобрали единицы измерения и значения радиуса и скорости, чтобы численное значение угла перемещения равно времени (стрелки часов так и работают) . Поэтому горизонтальная и вертикальная составляющие скорости это производные от косинуса и синуса.

Скорость как производная.

Но мы их уже знаем из геометрии. Для косинуса получается синус со знаком минус.

Вычисление производной методом пристального взгляда - рассматриваем движение точки по кругу.

Для синуса - упражнение для заинтересованного читателя. Практически, для всех элементарных функций достаточно простых геометрический рассуждений, чтобы определить соответствующие производные. Более того, определение производной через предел невозможно использовать для практического вычисления этой самой производной (так же как и определение предела невозможно использовать для вычисления предела). Удивил? На этой парадоксальной ноте благодарю вас за внимание. Ставьте лайк и подписывайтесь на канал, если вам интересно почему^2.