Я часто говорю о необходимости изучать идеи, отличные от того, что преподают в школе. Но что именно я имею ввиду? Хочу привести несколько примеров базовых лёгких идей, средних по сложности и продвинутых идей. Я выбрал по три короткие задачки из каждого уровня и предлагаю решить их школьникам 8-11 классов, чтобы проверить себя. А если хотите научиться большему - регистрируйтесь на маткружок, который начнётся уже в начале сентября https://skystudents.kz/math-faculty
Итак, базовые идеи:
1) Если даны числа n и m, какое число будет ровно посередине между ними?
2) Если увеличить число сначала на 20%, а потом еще на 25%, то на сколько процентов увеличится первоначальное число?
3) Во сколько раз часовая стрелка движется медленнее минутной?
☺️☺️☺️☺️☺️
А вот средние идеи:
4) У кота Леопольда дома 10 мышиных норок. Он разрешил жить там мышам, но только чтобы в любых двух норках жило не более 5 мышей. Сколько максимально мышей может жить у Леопольда?
5) Если 16 августа 2019 года было пятницей, то 16 августа 2027 года будет каким днём?
6) В кафе нужно заплатить 10% за обслуживание, но у гостей имеется скидочная карта, дающая право на 20% скидку. В каком порядке выгоднее произвести расчёты? Сначала добавить за обслуживание, а затем скидка, или сделать наоборот?
🤔🤔🤔🤔
И усложнённые:
7) Кафельщику пришлось резать прямоугольную область 12х22, ровно выложенную квадратными плитками, по диагонали. Сколько плиток пришлось разрезать кафельщику?
8) Сколько разных делителей имеет число 900?
9) Ученики в классе написали тест и если бы каждый из мальчиков набрал на 4 балла больше, то средний балл всего класса вырос бы на на 2.8 балла. Сколько процентов девочек в этом классе?
Итак, давайте дадим кратние пояснению и ответы:
1) Посередине стоит число (m+n):2. И то, что даны были не конкретные числа, а буквы, только запутывает 6-8 классника. Вот хороший пример использовать этот простой принцип - какое число находится между 1/8 и 1/10? Кто-то поспешит ответить, что это 1/9... Но это не так.
2) Увеличивая число на 20%, мы умножаем его на 1.2, а затем увеличивая его на 25%, мы умножаем на 1.25. В итоге, 1.2*1.25 = 1.5, то есть в итоге число вырасло на 50%. Вопрос, как такое считать быстрее, ведь умножать 1.2 на 1.25 вовсе нелегко.
3) Посмотрим, за 60 минут минутная стрелка сделает полный оборот (12 промежутков между числами на циферблате), а вот часовая стрелка пройдёт только один такой промежуток. Получается, что часовая в 12 раз медленнее.
4) Ответы типа 3, 2, 3, 2, 3, 2 и тд и по 2.5 мышки в норке конечно несостоятельны. Первый из-за того, что в первой и третей норке живёт уже 6 мышей, а это больше 5. А второй потому что нельзя резать мышек, если хотите их видеть живыми. Правильное расселение 3, 2, 2, 2, ... , 2. То есть 3 мышки в одной норке и по 2 в остальных. Проверьте правильность выполнения всех условий и попробуйте добавить ещё хотя бы одну мышенцию. Всего выходит 21 мышка.
5) Из-за того, что 365 при делении на 7 даёт в остатке 1, каждый год один и тот же день (дата) сдвигается на 1 день (например вторник на среду). Но если пройден високосный год, в котором 366 дней, то смещение уже будет 2 дня. Получаем, что за 8 лет 6 смещений на 1 день и два смещения на 2 дня. Итого 10 дней, а это одна полная неделя (день недели не изменился) и плюс три дня, которые легко добавить вручную. Пятница + 3 дня это понедельник.
6) Никакой разницы не будет.
счёт+10%-20% = счёт*1.1*0.8 = счёт*0.88 = счёт-12%, или
счёт-20%+10% = счёт*0.8*1.1 = счёт*0.88 = счёт-12%, то есть вообще по барабану как делать.
7) Это сложно, но идея примерно такая - каждый раз пересекая линию (горизонтальную или вертикальную) мы переходим на новый квадрат. Ещё надо учесть два факта - первый квадрат режется в любом случае, второй - есть такие узловые точки, где вы в одной точке сразу пересекаете и горизонтальную, и вертикальную линии. В конце концов получается красивая формула: ряды + колонки - НОД(ряды, колонки) = 12 + 22 - НОД(12, 22) = 34 - 2 = 32.
8) Это теорема из теории чисел. Более красиво конечно само доказательство, но работает всё так: раскладываем 900 на простые множители 900 = 2^2 x 3^2 x 5^2, теперь стпень каждого множителя увеличиваем на 1 и результаты перемножаем, выходит (2+1)*(2+1)*(2+1) = 27 делителей у числа 900. Включая 1 и 900. Перебором долго считать, а теорема просто прекрасна. У меня на Ютуб канале есть доказательство, вернее идея - https://www.youtube.com/watch?v=PcozY4KB3ds&t=459s
9) Даю наводку - если бы каждый человек в классе увеличил свой балл на 4, то и среднее увеличилось бы на 4. Но среднее выросло всего-то на 2.8, а от 4 это составляет 2.8/4 = 0.7 = 70%, значит мальчиков 70%, раз их повышенные баллы обеспечили рост среднего на 70% от максимально возможного роста в 4. Следовательно девочек 30%.
Я считаю, что школьник по окончании 11 классов (а кое-где и 12-и) должен иметь в голове много таких идей, а не как решать километровые тригонометрические неравенства, сводящиеся к квадратным или логарифмические неравенства с переменным основанием. По крайней мере такого материала как приведённые идеи должно быть намного больше! Вы за?