Приветствую Вас, Уважаемые Читатели! В прошлом материале я рассказывал про единственный в своём роде треугольник Шарыгина.
Напомню, что он образован точками пересечения биссектрисами противоположных сторон произвольного (но не равнобедренного!) треугольника. Сам же треугольник Шарыгина - равнобедренный, и это уникальный факт!
Между тем, хоть такой треугольник и существует, на один из его углов действует очень жесткое требование: он должен попадать в диапазон от 102 до 104 градусов. Давайте разберемся, откуда это требования возникло.
Опуская геометрическую часть доказательства, направленную на то, чтобы выразить стороны исходного треугольника друг через друга, приступим к алгебраической. Итак, получается вот такое чудо:
Начинаем страдать! Нам нужно понять, что за условия накладываются на переменную х. Заметим абсолютную симметричность левой части выражения (9 слагаемых, полученных перемножением друг друга + 1 произведение сторон) и путём подбора получим:
В последней строчке записано неравенство треугольника. Теперь решаем уравнение и неравенство совместно:
Получили первое условие. Не пугайтесь, ведь x - в нашем случае это косинус угла, поэтому всё нормально. Идём дальше. подставляем выражение для стороны a в теорему косинусов:
Получили квадратное уравнение относительно y. Необходимо проверить, когда оно имеет решение, причём положительные (ведь y - это отношение сторон треугольника). Разделим на (4x+1) и вычислим дискриминант и получаем жёсткую жесть:
Ну что же, я - человек простой. Вижу уравнение высших степеней - начинаю подбирать корни и делить, делить, делить уголком! Никаких попыток привести слагаемые!
В первом случае корнем является 1/2, а во втором -1. Получаем неравенство, решаемое методами 9 класса.
Помним, что змейка не прыгает вверх-вниз при переходе через четную степень!
Итак, барабанная дробь! Мы получили, что косинус одного из углов треугольника Шарыгина должен быть больше минус 1/4 и меньше вот этого вот всего с радикалом. Вычисляем на калькуляторе:
А вот и реальные углы! Оцените полученный диапазон! Не знаю как Вы, но я испытал истинное наслаждение. Спасибо за внимание!