Говорят, что жизнь как зебра: полоса черная, полоса белая, полоса черная, полоса белая и…
Неизвестный философ.
Ах, если бы это было так, то зная где упасть, можно было бы подстелить соломки перед наступлением черной полосы. Но чередование белых и черных полос (как и их продолжительность) непредсказуемы. Больше похоже на штрих код. Вот такой полосатый штрихкод, только в применении к задачам геофизики я и стал рассматривать в качестве простого примера, разбираясь с книгой
Оказывается, уравнение распространения волн в среде со случайным распределением трещин, пористых материалах и т.п. может быть "усреднено" с помощью диаграммной техники. Вот поэтому я с этой книгой и стал разбираться. Видно, что авторы хорошо разбираются и в квантовой теории поля, и в теории вероятностей, и в геофизике. А читателю приходится с карандашом анализировать все появляющиеся там формулы.
Меня очень заинтересовал разел, посвященный математическому описанию случайных сред. Все начинается очень абстрактно, по Колмогорову. Вводится вероятностное пространство, мера, и всевозможные функционалы. Для лучшего восприятия, я все концепции этого раздела применил к ансамблю случайных слоистых сред - те самые зебры-штрихкоды из вступительной части. Получилось очень педагогично, на мой взгляд.
Почитав абстрактное описание подхода к случайным слоистым средам начнем конструировать пример:
Итак, пусть у нас есть слоистый материал, составленный из слоев двух типов - трещина и остов (пишу про слои, чтобы потом воспользоваться этим примеров в расчете акуситческих свойств такого материала). Для начала я взял фиксированной толщину каждого слоя - обозначим ее d (хотите - пусть будет 1). С одной стороны это сильно упростило пример, а с другой стороны, если взять d очень маленьким, то из нескольких таких слоев (практически) можно составить слой любой толщины. Общее число слоев N я зафиксировал.
Итак, что же будет пространством событий в данном случае? Это множество, элемент которого одна из возможных реализаций слоистой структуры. Поставим в соответствие трещине 0 (пуста она, и потому нулем решил ее я обозначить), а остову 1. Тогда пространство событий можно представить как множество W двоичных последовательностей w длины N (где-то я на этом дзен-канале такое уже видел!). Если мы введем своими собственными руками аксиому - вероятность появления трещины в любом слое равна t, и не зависит от других слоев, то вероятность последовательности w будет просто произведение P(w)=t^n0*(1-t)^(N-n0). Здесь n0 это число трещин! Вместо интеграла по вероятностной мере будет сумма по вероятностям всех событий из интересующего нас подмножества.
Функции распределения.
Если мы вдруг захотим рассмотреть бесконечно-много бесконечно тонких случайно распределенных слоев, то возникнет проблема - вероятность попасть в какую-то реализацию будет стремиться к нулю. Нужно математически описать, как теперь нам измерять вероятность на разных множествах - то есть задать меру. Оказывается, во многих случаях это эквивалентно заданию бесконечной цепочки функций распределения.
Вот одночастичная функция распределения, это что такое? Например, мы берем точку x1 внутри нашей слоечки, и хотим узнать, какова вероятность там получить трещину? Мы уже сказали, что у нас это аксиома - эта вероятность t, но сейчас мы потренируемся на одноточечной функции и с двухточечной будет понятнее? По определению, если мы знаем как измерять множества в пространстве событий (разных слоистых структур), то нам надо взять множество всех слоек, у которых в точке x1 трещина, а в остальных хоть трава не расти, и вычислить его меру
Что же на рисунке выше сделано? Дельта-функция под интегралом определяет, по какой области пространства надо интегрировать, а в данном случае суммировать. Нужно просумировать вероятности всех двоичных последовательностей, в которых есть как минимум один ноль. Поэтому один множитель t уже за знаком суммы, а в суммируемы мы по случаям, когда в среди оставшихся слоев нет трещин, есть 1 трещина, 2 трещины и т.д., до полностью треснутой слойки. Нужно учесть комбинаторику - сколькими способами могут распределиться трещины. Получается, буквально, бином Ньютона. И тавтологичный ответ - если вероятность трещины t, то вероятность трещины t.
Вот с двухточечной функцией распределения все будет интереснее! Запишем определение
Во-первых, появилось 4 функции распределения: трещина-трещина, остов-трещина, трещина-остов, остов-остов. Во-вторых, точки x2, x1 могут либо попасть в разные слои (что точно произойдет, если x2-x1>d), либо они могут попасть в один слой. Зададим функцию, отмечающую попадание в разные слои П(x1,x2). Если x2-x1<d эта функция равна нулю, если x2-x1>d, то П(x1,x2)=1. Тогда за попадание в один слой будет отвечать функия 1-П(x1,x2). Вот так графически выглядит эта функция
Давайте определимся - будем вычислять функцию распределения трещина-трещина. Тогда, если точки попали в разные слои, вероятность функция распределения будет равна t^2*П(x1,x2), а если в один слой то t(1-П(x1,x2)). Множители t^2 и t точно также появляются в результате суммирования бинома Ньютона, как и для одночастичной функции распределения.
Ниже приведу ответ для всех четырех функций распределения, а вам упражнение - вывести оставшиеся!
Теперь можно результаты наших трудов применить к осмыслению абстрактных свойств функций распределения.
Неотрицательность имеется! Нормировка для одноточечной выполняется, потому что, сумма распределений для трещин и остова t+(1-t)=1. Для двух-точечной нужно сложить функции распределения трещина-трещина остов-остов и два раза трещина-остов. Если x2,x1 в разных клетках, эта сумма даст t^2+(1-t)^2+2t(1-t)=1. Если x2,x1 в одной клетке, сумма получится t+1-t=1. Для двухточечной нормировка тоже имеется.
Согласование с пределом очевидно- когда x2=x1 мы используем только слагаемые для попадания в одну клетку. Поэтому функции распределения трещина-остов равны нулю, а для совпадающих слоев - t*1 или (t-1)*1, то есть одночастичные распределения умноженные на дельта-символ.
Согласование с интегралом - поскольку у нас 2 типа слоев, надо брать сумму, трещина-трещина и трещина-остов. Как ни странно, получится t.
И наконец, у нас имеется свойство ослабления корреляций - если x2-x1>d, то двухчастичные распределения просто являются произведениями одночастичных распределения (t^2=t*t и т.д.). Получается, что радиус корреляции - это толщина слоя. На этой радостной ноте, что черные и белые полосы в жизни не скоррелированы, мы и завершим этот краткий экскурс в исследование случайных слоистых структур.
PS. Контрольные вопросы. 1) пусть плотность трещин (которую, например, можно измерить взвесив образец) t. Можно ли по другому задать одно-точечную и двухточечные функции распределений трещин?
2) что будет если рассмотреть предел бесконечного числа слоев, при сохранении остальной конструкции. нужно ли будет модифицировать функции распределения?