The language of categories / Язык категорий
POST 11 L
Как мы выше писали, теория категорий - это набор инструментов для описания общих абстрактных структур в математике, которая фокусируется не на объектах x, y,…, а на отношениях ((гомо)морфизмах) между ними:
x → y.
Предполагается, что многие свойства математических систем можно представить просто н единообразно посредством диаграмм, состоящих из стрелок.
Но прежде начнем с понятия универсума.
1. Логические основы теории
Обычной практикой в математике является рассмотрение утверждений с участием «всех групп» или «всех топологических пространств» и т.д. Изучаемая нами теория категорий будет постоянно иметь дело и работать с «совокупностью всех групп», «совокупностью всех множеств», «совокупностью всех топологических пространств», «совокупностью всех гомоморфизмов между двумя группами» и т.д., т.е. одной из главных задач теории категорий является изучение свойств совокупностей разнотипных математических объектов.
Упоминая свойства совокупностей мы должны осмыслить такую её характеристику, как «размер», которому уделим внимание в этом POST-е.
Комментарий. Вот что пишет по поводу «размера» Emily Riehl в своей книге “Category Theory in Context”.
Теоретико-множественные проблемы, с которыми мы сталкиваемся при определении понятия категории, будут усложняться по мере дальнейшего развития теории категорий. По этой причине распространенной практикой среди специалистов по теории категорий является работа над расширением обычных аксиом Цермело – Френкеля теории множеств, введением в практику новых аксиом, позволяющее различать «маленькие» и «большие» множества или «множества» и «классы». Поиск наиболее полезных теоретико-множественных основ для теории категорий - увлекательная тема, для изучения которой, к сожалению, потребовалось бы слишком много отступлений. Поэтому, мы не рассматриваем эти фундаментальные проблемы не потому, что они не являются серьезными или интересными, а потому, что они отвлекают от текущей задачи. The set-theoretical issues that confront us while defining the notion of a category will compound as we develop category theory further. For that reason, common practice among category theorists is to work in an extension of the usual Zermelo–Fraenkel axioms of set theory, with new axioms allowing one to distinguish between “small” and “large” sets, or between sets and classes. The search for the most useful set-theoretical foundations for category theory is a fascinating topic that unfortunately would require too long of a digression to explore. Instead, we sweep these foundational issues under the rug, not because these issues are not serious or interesting, but because they distract from the task at hand
Несмотря на то, что мы принимаем подход изложения принятой в монографиях Сандерса Маклейна “Категории для работающего математика” (1.6, стр. 33) и трехтомника Francis Borceux “Handbook of Categorical Algebra” (1.1., стр. 1) (где различают «малые» и «большие» множества или «множества» и «классы»), мы, в процессе нашего представления теории примем во внимание также точку зрения Emily Riehl.
Предпочитаемый способ решения проблемы “размера” в теории категорий - принять аксиому о существовании «универсальных множеств», или «универсумов» (универсумов рассуждения, универсумов рассмотрения).
В любой конкретной задаче приходится иметь дело с подмножествами некоторого, фиксированного для данной задачи, множества. Её принято называть универсумом и обозначать символом U. Например, при сборке некоторого изделия универсальным множеством (универсумом) естественно назвать множество всех деталей и сборочных элементов, из которых это изделие состоит. Или, если мы рассматриваем множества, связанные с какими-нибудь фигурами на плоскости, то в качестве универсума можно выбрать множество всех точек плоскости.
Определение 1.1 Универсум - это множество U со следующими свойствами
(1) x ∈ y и y ∈ U => x ∈ U,
(2) I ∈ U и ∀i ∈ I xi ∈ U => ∪i∈I xi ∈ U,
(3) x ∈ U => P(x) ∈ U,
(4) x ∈ U и f : x → y сюръективная функция => y ∈ U,
теоретико-множественная функция f: A → B сюръективна (наложение), если для каждого y ∈ B существует некоторый x ∈ A, такой, что y = f (x).
(5) N ∈ U,
где N обозначает множество конечных ординалов (натуральных чисел), а P(x) - множество подмножеств x.
В качестве сравнительного примера, приведем два определения универсума из двухтомной монографии К. Фейс “Алгебра: кольца, модули и категории” (Москва, “МИР”, 1977) и монографии С. Маклейна.
Универсум – непустое множество U, удовлетворяющее следующим условиям:
1. Если X ∈ U, то X ⊆ U.
2. Если X ∈ U, то Pow X ∈ U, где Pow X означает множество всех подмножеств множества X.
3. Если {Xi | i ∈ I } – семейство множеств, где I ∈ U и Xi ∈ U для любого I ∈I, то Xi ∈ U.
4. Если X, Y ∈ U, то упорядоченная пара 〈X, Y〉 принадлежит U.
Аксиома, утверждающая, что каждое множество является элементом некоторого универсума, приводит к существованию бесконечных множеств.
Универсум определяется как множество U со следующими (отчасти избыточными) свойствами:
1) из x ∈ u ∈ U следует x ∈ U;
2) из u ∈ U и v ∈ U следует {u, v}, 〈u, v〉 и u × v ∈ U;
3) из x ∈ U следует Px ∈ U и ⋃x ∈ U;
4) ω ∈ U (здесь ω = {0, 1, 2, …} – множество всех конечных ординалов)
5) если 𝑓 : 𝑎 → b – сюрективная функция, причем 𝑎 ∈ Uи b ⊆ U, то b ∈ U.
Приведем некоторые простые следствия из данного определения.
Предложение 1.2
(1) x ∈ U и y ⊆ x => y ∈ U,
(2) x ∈ U и y ∈ U => {x, y} ∈ U,
(3) x ∈ U и y ∈ U => x × y ∈ U,
(4) x ∈ U и y ∈ U => xy ∈ U.
Следует отметить, условие (4) в определении 1.1, представляющая из себя аксиому выбора из теории множеств, может быть заменена на эквивалентное условие
x ∈ U и y ⊆ x => y ∈ U.
Теперь сформулируем аксиому о существовании универсумов, а именно
Аксиома 1.3 Каждое множество принадлежит некоторому универсуму.
С точки зрения теории множеств, об этой аксиоме известно немного. Более-менее интересное и полезное что можно сказать о них, то, что из-за свойства
x ∈ U и y ⊆ x => y ∈ U,
кажется разумным думать об элементах универсумах как о «достаточно малых множествах».
Еще раз зафиксируем для себя - малое множество означает дня нас элемент универсума, а не множество малой мощности.
Принимая условие, что мы будем и далее использовать аксиому об универсумах (theory of universes) в качестве основы теории категорий, тогда следующее соглашение останется в силе на протяжении всего изучения теории.
Соглашение 1.4 Мы фиксируем универсум U и называем «малыми множествами» элементы U.
Аналогично, назовем функцию f : x → y малой, если x и y - малые множества.
Очевидно, теперь у нас есть следующeе
Предложение 1.5 Существует множество S со свойством x ∈ S ⇔ x является малым множеством.
Аналогичное утверждение верно для малых абелевых групп, малых топологических пространств и т. д. Например, малая группа - это пара (G, +), где G - малое множество (и есть только множество из них), а + - малое множество отображений G × G → G (и есть только множество из них), и мы можем обратиться к предложению 1.2 и сделать из неё соответствующие выводы.
Один из способов, которое позволит разобраться с проблемой “размера”, это обратиться к аксиоматической теории Гёделя-Бернайса (NBG, аксиоматика Неймана—Бернайса—Гёделя) с её различением множеств и классов. В аксиоматической теории Цермело-Френкеля примитивными понятиями являются «множество» и «отношение принадлежности». В теории же Гёделя-Бернайса есть еще одно примитивное понятие, называемое «классом» (воспримем её как «большое множество»); это примитивное понятие связано с двумя другими (выше упомянутыми примитивными понятиями) так, что каждое множество является классом, а точнее:
Аксиома 1.6 Класс является множеством тогда и только тогда, когда он принадлежит какому-то (другому) классу.
Математика длительное время развивалась, не различая множество и классы; однако парадокс Рассела (существуют множества, которые не являются элементами самих себя) изменил положение в этом деле. Например (но более подробно в дальнейшем), теорема о вложении абелевых категорий в категорию абелевых групп, или теорема Фрейда о существовании левого сопряженного для данного функтора требуют проведения различия между множеством и классом.
А первопричина парадокса Рассела кроется в её признание принципа выделения (аксиома теории множеств Цермело-Френкеля): если дaнo cвoйство φ(х) множества х, тo можно образовать множество {х | φ(х)} всех множеств x с этим свойством.
По этой причине в наивной теории множеств (изначальная форма теории) с обычным отношением принадлежности ∈ применение принципа выделения обычно ограничивается заданием определенных условий. Эти условия замкнутости для универсума U гарантируют, что применение стандартных теоретико-множественных операций к элементам из U всегда дают элементы из U. Поэтому можно считать, что тогда обычная математика работает исключительно внутри U. Именно принцип ограниченного выделения позволяет построить множество всех тех множеств, которые являются малыми функциями, nоскольку эти функции - элементы из U. [более подробно смотрите книгу Маклейна, параграф 1.6]
Аксиомы, относящиеся к классам, подразумевают, в частности, следующую «схему осмысления» к построению классов.
Схема осмысления 1.7 Если φ(x1, . . . , xn) формула, в которой квантификация (связывание, т.е. приписывание квантора к формуле, что подразумевает её количественное определение) выполняется только по заданным переменным, тогда существует класс A, такой, что
(x1, . . . , xn) ∈ A тогда и только тогда, когда φ(x1, . . . , xn).
Это схема задает аксиому замещения из аксиоматики Цермело-Френкеля, которая гласит, что образ множества при действии функции является множеством.
Рассмотрим следующий пример для осмысления схемы. Например, существует класс A со свойством
(G,+) ∈ A тогда и только тогда, когда (G,+) “является группой”
(где «является группой» означает аббревиатуру групповых аксиом); другими словами, это определяет «класс всех групп». Таким же образом мы выводим существование класса множеств, класса топологических пространств, класса проективных абелевых групп и т. д.
Отметим еще одно важное обстоятельство. Из рассмотренных условий, определяющих универсум U, вытекает, что все элементы (множества) из U (все малые множества) удовлетворяют аксиомам Цермело-Френкеля. Допущение о существовании такого единственного универсума вполне достаточно для целей изучаемой теории категорий.
Как мы выше уже отмечали, разобраться с проблемой “размера” можно обращаясь к NBG с её различением множеств и классов. Оказывается, если принять аксиому о существовании универсумов и зафиксировать универсум U, можно получить модель NBG, выбрав для этого в качестве «множеств» элементы U, а в качестве «классов» - подмножества U.
В принципе, при изложении теории категорий можно выбрать такую методику, при котором не будет иметь значения, основывается ли она на аксиоме существования универсумов или на теории классов Гёделя – Бернейса. Если читатель предпочитает терминологию NBG, то может использовать термины «set/множество» и «class/класс»; а читатель, предпочитающий терминологию для первого подхода, должен читать «малое множество», когда пишется «множество», и читать «множество», когда мы пишется «класс».
В заключении отметим, что построение оснований математики с помощью единственноrо универсума обеспечивает (в рамках теории множеств) корректный способ рассмотрения категорий всех малых математических объектов разных типов, например, малых множеств и всех малых групп. Но здесь отсутствуют множеста для реализации некоторых метакатегорий, таких как метакатегория всех множеств или всех групп. Поэтому, в свое время, Александр Гротендик использовал иной подход, что послужило причиной для серьезного обсуждения возможности построения теории категорий (и всей математики) вне рамок теории множеств.
Вот почему некоторые авторы вначале дают определение категории без исполъзованияпонятия множества, рассматривая аксиомы просто как аксиомы первого порядка с неопределяемыми терминами «объект категории», «стрелка в категории», «композиция», «единицa», «область» и «кообласть». На этом языке можно сформулировать аксиомы теорин первоrо порядка, категории всех множеств, получив понятие элементрного топоса.