"Ты, Петька, прежде чем о сложных вещах говорить, разберись с простыми."
Пелевин В.О., Чапаев и Пустота
Не будем уподобляться популярным авторам популярных книг по физике "о краткой истории единой физики невозможного всего на свете". Даже в таких простых законах физики как закон Архимеда есть свои тонкости. А если, по совету Чапаева разобраться в плавание тел, то такие вещи как, например, теория катастроф, антропный принцип, спонтанное нарушение симметрии, фазовые переходы и др. станут гораздо ближе и понятнее.
Покажу очень характерный пример, как попытка упростить объяснения может приводить к существенным неточностям (даже ошибкам) и сколько нам открытий чудных готовит простой кубик. Чтож, закон Архимеда каждый человек ощущал на собственном опыте, занимаясь плаванием в открытом или закрытом водоеме. Поэтому приступим.
Закон Архимеда можно объяснить при помощи разности гидростатических давлений на примере прямоугольного тела, погруженного в жидкость или газ.
Понятно, почему в этом случае вместо сферического коня в жидкости, берут кубического коня. Ведь в этом случае очень просто вычислить указанную разницу гидростатических давлений - важно только давление со стороны дна. Можно на пальцах объяснить откуда есть пошла сила Архимеда. Для шарика уже не так просто это сделать - нужно знать интегралы, или придумать хитрое геометрическое рассуждение. А с кубиком кажется, что можно и без интегралов обойтись!
Часть первая - экспериментальная
Осторожно! Рисовать такие кубики (А, Б, В, Г) - это очень скользкая дорожка. Вы можете взять несколько кубиков из пластика, дерева и сделать эксперимент. Вы увидите, что плавающий кубик на рисунке выше изображен неправильно!
Шарик то круглый, как не посмотри, и плавать он будет одним единственным способом. А вот кубик может плавать торча вверх и вершиной, и ребром и гранью. И так сходу и не скажешь как именно получится в данной ситуации. Дело в том, что в зависимости от относительной плотности материала кубика, разные расположения могут быть более или менее устойчивыми. Для простоты можно себе представить цилиндрическое бревно - оно будет плавать в горизонтальном положении. А вот как быть с кубиком?
Часть вторая - обзор литературы
Обзор литературы - важная часть исследовательской деятельности. И хотя я знал в общих чертах как решается эта задача и в чем там подвох, перед тем как заняться собственными расчетами решил посмотреть в интернете. Удивительно, но полного разбора этой задачи я не нашел. Для кораблестроителей кубик слишком просто выглядит, а для учебных и олимпиадных задач - слишком сложно. Я нашел обсуждение схожей задачи на одном форуме (и конечно есть длинная тема на dxdy). Вот несколько цитат оттуда:
На поверхности воды плавает идеальной формы кубик. Плотность кубика ровно в два раза меньше плотности воды. В каком положении он плавает?
В ход идут энергетические соображения (я тоже так буду рассуждать, но плотность у меня будет произвольной!):
Значит все сложится так, как удобней воде. А ей удобней, когда центр вытесненного обьема повыше. Тогда центр тяжести всего обьема воды ближе к нулевому уровню. Теперь надо пощитать, но лень.
Плавание тел сравнивается с квантовой механикой. А я что говорил? Тема бездонная:)
А для меня вопрос как будет тело плавать в воде остается большой непостижимой загадкой. Примерно как волновые функции.
Началось голосование:
Вариант 1.
Углом(вершиной) вниз. Все стримится к простоте, равномерности и устойчивости.
Вариант 2.
Неправильно. Плоскостью. Так, чтобы в высоту это сооружение как можно ниже было, а не выше.
Украшение дискуссии - цитата
Если кто никогда не видел кубики, плавающие в воде - попробуйте, они плавают плоскостью вниз.
Хватит цитат. Посмотрите на фото выше, возьмите сами несколько кубиков... Давайте же не поленимся и решим задачу - как плавает кубик (на форуме, кстати, в последнем сообщении ответ был найден для кубика с плотностью в два раза меньшей чем у воды.)
Часть третья - теоретическая
Критерий устойчивости не так прост. В кораблестроении вводят понятие метацентра, нужно также отдельно знать положение центра масс корабля и центра масс вытесненной воды. Есть еще и статическая и динамическая устойчивости.
Мы поступим проще - действительно, устойчивым положением будет такое, в котором потенциальная энергия минимальна. Только в данном случае потенциальная энергия будет не только функцией высоты центра тяжести кубика над заданным уровнем. Потенциальная энергия будет еще зависеть от ориентации кубика (да, да, потому что кубик находится не просто в поле тяжести, а в совместно действующем поле силы тяжести и силы Архимеда).
Можно призвать на помощь симметрию, которая подскажет, что подозрительные на минимум потенциальной энергии конфигурации такие - вершина вверх (диагональ куба вертикальна), ребро ввер (горизонтально) и грань вверх (горизонтально). Именно в этом случае сила Архимеда, приложенная к центру плавучести, и сила тяжести, приложенная к центру масс, будут действовать вдоль одной вертикальной прямой. Рассматривая только три указанных случая можно вычислить три соответствующих функции потенциальной энергии Uv(x), Ue(x), Uf(x), где x=плотность воды/плотность кубика. При заданной плотности кубика, устойчивым будет положение, соответствующее наименьшей потенциальной энергии из трех. Сначала приведу график с ответом:
Плавание гранью вверх будет наблюдаться для малых плотностей (примерно до 7% от плотности воды), и для интервала от примерно от 53% до 90%. Вершина более устойчиво плавает в 3х интервалах, от 7% до 30% (примерно), около половины (плюс минус 3%) и для очень тяжелых кубиков (около 100%). Ребро устойчиво при плотности от 30% до примерно 47%, и от 90% до 98%. Отметим, что в некоторых интервалах плотности графики очень близки, поэтому на практике, ориентация будет определяться неоднородностями кубика. Чтобы построить этот график аналитически - нужно уметь вычислять интегралы от полиномов и решать кубические уравнения (или воспользоваться каким-нибудь программным обеспечением)! Так что исходный посыл - что с кубиком проще объяснить силу Архимеда оказыватеся очень наивным.
А теперь перейдем к решению. Первый вопрос - как вычислять потенциальную энергию. Давайте посмотрим на тело полностью погруженное в воду. На него действуют сила тяжести и сила Архимеда. Обе силы от глубины не зависят. Значит, потенциальная энергия - линейная функция глубины. Будем отсчитывать нулевой уровень энергии от поверхности воды - тогда потенциальная энергия будет весом тела в воде умноженным на глубину центра масс (со знаком минус). Для тела целиком находящегося над водой потенциальная энергия равна его весу умножить на высоту центра масс над водой. Плавающий кубик разделим на две части - подводную и надводную. Тогда потенциальная энергия будет суммой потенциальных энергий подводной и надводной частей.
U/g=x(H+h)
Здесь U - потенциальная энергия, g- ускорение свободного падения, x - относительная плотность кубика, H - высота центра масс надводной части (всегда больше нуля), h - высота центра масс всего кубика (может быть положительной и отрицательной).
Плотность кубика x также определяет объем погруженной в воду части (длину ребра кубика мы взяли за единицу измерения длины), (1-x) - объем плавающей части. Зная расстояние h от центра масс до поверхности воды можно вычислить x(h) - это будут (кусочные) полиномы первого, второго и третьего порядка (в зависимости от ориентации). Но нам то надо наоборот - это первая трудность. В принципе, задача решаемая, так как для этих случаев известны формулы корней полиномов. Но очень трудоемкая. Чтобы при заданной высоте H найти центр масс плавающего кубика (ребром и гранью), нужно знать центр масс равностороннего прямоугольного треугольника и прямоугольника. Для этого интегралов не надо. А вот для пирамиды я без интеграла не обошелся. Потом тоже нужно обращать полученный результат, превращая зависимость H(h) в H(x). Я сделал проще - посчитал табличку c 4 столбцами h(x), H(h(x)), x, U, для разных x. Потом на график вывел только (x, U).
Далее мы вычислим некоторые возникающие объемы и связь между плотностью и расстоянием от центра масс кубика до поверхности воды явно.
Плавание вверх вершиной.
Пусть d - высота вершины кубика над уровнем воды, 0<d<Sqrt[3]. Центр тяжести кубика находится на расстоянии Sqrt[3]/2 от вершины (серидина диагонали). Поэтому высота центра тяжести над водой
h=Sqrt[3]/2-d, или d=h + Sqrt[3]/2.
- Случай 1. 0<d<1/Sqrt[3]
Если высота вершины надо уровнем поверхности меньше 1/Sqrt[3], то сверху торчит трехгранная пирамидка. Длина ребер, выходящих из вершины будет Sqrt[3]d. Ее основание равносторонний треугольник. Сторона этого равностороннего треугольника связана в высотой пирамиды d так - a=d Sqrt[6]. Объем пирамидки - треть площади основания умножить на высоту
V(1)=(Sqrt[3]/2) d^3
Объем вытесненной воды (незабудем подставить вместо d расстояние h):
x=U(1)=1-(Sqrt[3]/2) d^3
- Случай 2. 1/Sqrt[3]<d<1-1/Sqrt[3]
Будем плавно увеличивать высоту вершины над уровнем воды. Когда она станет больше чем Sqrt[3], над водой будет торчать такая фигура
Практически очевидно, что случай, когда над водой торчит усеченная (по ребрам из вершины) пирамида, не будет устойчивым, но для математической строгости, проведем вычисления. Нужно просто из объема пирамидки вычесть три объема подобных же пирамидок. У этих пирамидок длина ребра, выходящего из вершины будет Sqrt[3]d-1. Коэффициент подобия между отрезанными углами и большой пирамидой будет k=(Sqrt[3]d-1)/(Sqrt[3]d). Значит объем торчащей над водой части можно найти вычитая из объема пирамиды три раза тот же самый объем уменьшиный в k^3 раз:
V(2)=(Sqrt[3]/2) d^3(1-3k^3)
Объем вытесненной воды:
x=U(2)=1-(Sqrt[3]/2) d^3(1-3k^3)
- Случай 3. 1-1/Sqrt[3]<d<1
Это уже совсем нереалистичный случай, когда погруженная часть будет маленькой пирамидой. Но здесь уже ничего не надо вычислять, просто воспользоваться результатом случая 1 заменив d на Sqrt[3]-d, и вычесть из 1 объем пирамидки:
V(3)=1-(Sqrt[3]/2) (Sqrt[3]-d)^3
Объем вытесненной воды:
x=U(3)=(Sqrt[3]/2) (Sqrt[3]-d)^3
Плавание вверх ребром
Обозначим расстояние от ребра до поверхности воды D. Величина D может изменяться в диапазоне от 0 до Sqrt[2]. Над водой будет плавать уложенная на бок призма с треугольным основанием. Высота центра тяжести над водой
h=Sqrt[2]/2-D, или D=h + Sqrt[2]/2.
Мы снова варьируем высоту плавающей части, что соответствует изменению плотности материала кубика.
- Случай 1, 0<D<Sqrt[2]/2
Тогда объем плавающей части Vp(1)=D^2,
а объем погруженной части
x=Up(1)=1-D^2,
- Случай 2, Sqrt[2]/2<D<Sqrt[2]
Объем плавающей части Vp(1)=1-(Sqrt[2]-D)^2,
а объем погруженной части
x=Up(2)=(Sqrt[2]-D)^2.
Плавание вверх гранью
Это самый простой случай. Обозначим расстояние от грани до поверхности воды L. Величина L может изменяться в диапазоне от 0 до Sqrt[1] (стараюсь сохранять последовательность).
Объем плавающей части Vp(1)=L,
а объем погруженной части
x=Up(2)=1-L.
Dысота центра тяжести над водой
h=Sqrt[1]/2-L, или L=h + Sqrt[1]/2.
Дальше я не смог выполнить расчеты без привлечения компьютера. Используя эти формулы для объемов, как часть алгоритма, я вычислил положения центров масс. Потом нашел потенциальную энергию и изобразил на графике. Для каких-то значений плотности, можно получить и явные формулы, но для выводов подробный график лучше всего.
Выводы
Мы увидели, что даже такая простая задача - как исследование плавания однородного кубика в воде требует для своего решения элементов математического анализа. Существуют различные положения равновесия при разных плотностях кубика. Многие задачи, где молчаливо предполагается плавание гранью вверх, становятся неправильными (как знаменитый американский прямоугольный треугольник с мнимой гипотенузой). Я сделал эксперимент из всех кубиков, которые смог найти (разных плотностей) - все три случая налицо. Грань вверх получается только для очень маленьких или средних плотностей. Эти существенно различные положения равновесия могут скачкообразно меняться, если мы будем плавно менять, к примеру, плотность жидкости (может быть увеличивая плотность путем растворения соли?). Может ли быть так, что одно из состояний с не минимальной потенциальной энергией тоже будет устойчивым равновесием - вопрос глубокий. Здесь и до теории катастроф (теории критических точек функций многих переменных) один шаг остался, или до спонтанного нарушения симметрии.
Как говорил Козьма Прутков - Бросая в воду кубики камни, следи за положением, в котором они плавают кругами, ими образуемыми... Спасибо что дочитали (может и не с первого раза - написал я не с одного захода), буду рад замечаниям, дополнениям, и, возможно, кто-то знает как проще сделать все выше описанное.
Благодарности
Я благодарен Вячеславу Алексеевичу Горюнову, который постоянно находил глубину в простых вещах (и рассказал об этой задаче), и Федору Васильевичу Ткачеву, который рассказывал о важности экспликации очевидностей
