Старшая дочь, 7 лет отроду, учится во втором классе бразильской школы (здесь дети идут в первый класс в 6 лет). Времена нынче трудные, школы уже 3 полугодия закрыты. Поэтому по сути в школу она так и не ходила. Справедливоста ради надо сказать, что в 3 года в садике она выучила португальский в объеме достаточном для жизни, в 4 года ее обучили буквам и счету, в 5 лет она ходила в подготовишку к первому классу в Томске и тоже чему-то научилась. Сейчас у нее каникулы. И мы решили записаться в русскую онлайн школу. Там как раз есть тестовые 2 недели. Пошли в первый класс. И вот, на первом занятии по русскому языку я вижу диаграммы Фейнмана! Я чуть со стула не свалился...
Нет, такие диаграммы еще в первом классе не рисуют, но очень похоже на то, как изображают предложение. Оказывается, речь состоит из предложения, а предложения из слов. И каждое предложение можно представить диаграммой, где "пропагатор", то есть черта, будет соответствовать слову. Пропагатор с черточкой будет соответствовать Первому слову предложения, а вершина (точка) - концу предложения. Вот такая диаграммная техника!
Эти диаграммы - какой-то знак в моей жизни. В этом году всплыли 3 раза (3 раза, значит точно знак - что он означает?). Сначала, два магистранта физика ко мне обратились, чтобы я им объяснил диаграммную технику Келдыша (для расчетов тока в квантовой электрической цепи), потом возникла тема с применением диаграмм Фейнмана в геофизике (сейчас разбираюсь), и наконец - в первом классе!!!! Буду думать, чтобы это значило:)
А пока, расскажу вам, как очень похожие на рисунки со словами в предложении могут помочь в работе с полиномами Эрмита! Эту технику я выучил, когда пытался найти доказательство одной формулы в общем виде, в которой фигурировали детерминанты составленные из полиномов Эрмита и неберущихся интегралов.
Надо сказать, что еще в магистратуре, я использовал версию Matemathica 6, которая мою формулу не могла переварить, и возвращала то, что я итак знал. Когда, почти 10 лет спустя я, при подготовку к семинару запустил старый файл в новой версии программы, то очень удивился, увидев волшебное сокращение и упрощение - все неберущиеся интегралы исчезли. Это было хорошо, для частных случаев, примеров. В каждом конкретном случае, чудесная Matemathica упрощала нужные выражения, и все нежелательные члены сокращались. Почему так происходило - это была загадка! Но я подозревал, что есть какое-то свойство полиномов Эрмита, которое работает во всех возможных случаях.
Признаться, не помню почему, пропустил некоторые занятия по математической физике, где изучали разные спецфункции. Поэтому упоминание Бесселя, или Эрмита меня вводили в ступор. Например, потому что с каждой новой спецфункцией на человека обрушивается шквал важных и полезных соотношений, и сходу систематизировать и разложить их по полочкам не удается. С Бесселем мне помогла справиться суперсимметрия (и это, видимо, одно из немногих полезных приложений суперсимметричной деятельности:)). С полиномами Эрмита - операторы рождения и уничтожения. Но оказалось, что можно совсем уж на уровне первого класса.
Давайте нарисуем N точек. Некоторые пары точек соединим черточками (но из каждой точки может выходить только одна черта), некоторые оставим без пары. Это и будет основой для записи алгебраического выражения (вероятностного) полинома Эрмита.
Чтобы получить полином Эрмита порядка N надо нарисовать все возможные графы такой структуры, выписать соответствующие алгебраические выражения и сложить! По определению, полиному нулевого порядка (пустое множество точек) ставим в соответствие 1. Понятно, что первый полином - это одна точка, никаких вариантов нет, H1(x)=x. Второй полином - две точки. В этом случае есть 2 графа - две точки, либо одно ребро. По нашим правилам H2(x)=x^2-1. Для третьего полинома получается уже 4 графа, поэтому надо рисовать картинку
Вообще, такие графы изображают особые функции (или перестановки) на множестве точек, которые называются инволюциями - если сделать инволюцию два раза, то все вернется на исходные позиции. Понятно, что вычислять полином большого порядка с помощью графов дело неблагодарное. Но, графический метод может еще сослужить службу при выводе рекуррентных соотношений - а это самый быстрый и надежный способ вычислять полиномы из какого-то семейства.
Представим, что полином порядка N мы уже вычислили, и все диаграммы для него нарисовали. Обозначим любую из этих диаграмм прямоугольником. Чтобы получить полином N+1 порядка мы должны добавить одну точку.
Эта точка изменит диаграммы двумя способами. Она или останется свободной и не будет связана с остальными точками, что даст дополнительный множитель x к каждой диаграмме, а после суммирования этих диаграмм получится x*HN(x). Либо, эта точка будет соединена ребром с одной из точек предыдущего набора диаграмм, что даст множитеть (-1). В этом наборе окажутся все диаграммы с N-1 точкой, но каждая будет повторяться N раз (поскольку есть N способов провести это ребро между новой точкой и старыми). А после суммирования получится -N*H(N-1)(x). Ура, мы вывели рекуррентное соотношение
H(N+1)(x)=x*HN(x)-N*H(N-1)(x).
С помощью диаграмм можно еще вывести производящую функцию используя технику "комплекса разбиений". Физики-теоретики переоткрыли ее, когда стали работать с уравнениями Дайсона в квантовой теории поля. Грубо говоря, среди всего множества диаграмм, можно выделить основные, которые называются неприводимыми. Как правило такие диаграммы отличаются топологической связностью - т.е. представляют собой объект, все части которого соединены (в квантовой теории поля более строгое требование - объект не должен разваливаться от одного разреза). Для наших графов и полиномов Эрмита неприводимыми будут точка и ребро. Получается что функция F(t)=t*x+(1/2!)t^2(-1) будет производящей функцией для всех наших неприводимых диаграмм. Производящая функция - это просто (бесконечная) сумма по степеням параметра t, которая получается при разложении в ряд Ньютона Тейлора, а коэффициенты при степенях это то, что она производит:). Например, вспомнив разложение экспоненты в ряд Тейлора (это же в детском саду изучают?), увидим, что экспонента это производящая функция для числа перестановок N предметов (в степени -1).
Математики доказали общую теорему, что если производящая функция F(t) для неприводимых диаграмм известна, то производящая функция всех диаграмм будет ее экспонентой
f(t)=exp(F(t))
Суммируя все вышесказанное, получим производящую функцию для полиномов Эрмита
exp(t*x-(1/2)t^2)=
H0(x)+H1(x)t+H2(x)t^2/2!+H3(x)t^3/3!+...
Физики успокаиваются, проверив первые два слагаемых ряда. Но тут все строго.
Какой можно сделать вывод? Лично для меня, возможность вместо формул рисовать картинки всегда позволяет лучше вникнуть в суть. Теперь и робость перед спецфункциями у меня почти прошла. Нужно просто понять, "как их готовить".
PS. Именно вот эта техника мне в том доказательстве не пригодилась, но очень понравилась. После долгих поисков, я нашел что искал - сперва я вышел на неизвестную мне ранее область математики с интригующим названием "Теневое Исчисление" (Umbral calculus). И штудируя учебники этой науки, нашел ключевое свойство - теневая композиция (растянутых) полиномов Эрмита снова давала (растянутые) полиномы Эрмита, а параметр растяжения был просто суммой исходных параметров растяжения!