Они повторяются снова и снова, преследуют, подобно злому року. Ни убежать, ни спрятаться. Я, конечно, утрирую. Речь пойдет о типичных ошибках. Таких, которые совершают подавляющее большинство учеников. Некоторые из них результат ассоциаций, некоторые недопонимания. Большинство учителей в курсе о существовании этих провальных мест и пытаются предупредить их появления. Но они неизбежны. Взглянем в глаза этих монстров.
Возведение двучлена в квадрат
Огромное количество времени тратиться на то, чтобы дети усвоили формулы сокращенного умножения. А потом им попадается задание, где нужно их использовать. Угадайте, как они возводят выражение в квадрат?
Вот так:
Извлечение квадратного корня из суммы
Ошибка похожа на предыдущую. И обе являются наглядным примером того, как наш мозг выбирает более простой путь.
Сокращение алгебраический дробей
Еще один больной вопрос. В разных программах по-разному, но между темами "Сокращение обыкновенных дробей" и "Сокращение алгебраических дробей" проходит в среднем год. Но уже при сокращении числовых дробей до детей нужно донести мысль, что сокращаются множители. Иначе они начинают сокращать всё подряд:
Но меры предосторожности срабатывают не всегда.
Куда поставить запятую?
Вопрос, который возникает при умножении и делении десятичных дробей. При сложении и вычитании он тоже есть, но ситуация проще. Проблема с умножением, мне видится в том, что дети не поняли почему нужно считать общее количество цифр после запятой в обоих множителях. Это довольно длинная связка. Количество цифр после запятой, показывает, сколько нулей стоит после единицы в знаменателе. При умножении чисел с нулями, получается число у которого количество нулей равно сумме количества нулей в обоих множителях. Отсюда и правило умножения десятичных дробей. Много моментов. Если в одном из них провал, то и дальше ничего не работает.
Деление всегда вызывает вопросы. Основной момент это соблюдение разрядной системы. Но при прочих трудностях (подобрать число, которое при умножении на делитель, даст наиболее близкий результат к неполному делимому) до разрядов дело не доходит. Точнее доходит, но усилия тратятся на то, что сложнее. Как следствие, при делении десятичных дробей за разрядами никто не следит и запятая оказывается в самых загадочных местах.
Делим треугольник
На мой взгляд корни этой ошибки кроются в свойстве медианы (биссектрисы, высоты) равнобедренного треугольника, проведенной к основанию. Сначала даётся определение этих отрезков. Затем указанное свойство. А спустя несколько занятий дети утверждают, что медиана (или биссектриса) делит треугольник на два равных треугольника. Выгнать эту мысль из их голов представляется проблематичным.
Действия с отрицательными числами
У меня складывает впечатление, что дети делятся на три категории. Те кто освоил сложение отрицательных чисел, но не правильно определяет знак при умножении и делении. И те, кто справляется с умножением и делением, но при сложении ошибается в знаке. А в третьей самой малочисленной группе те, кто справился со всеми операциями.
Мне кажется у детей возникает сложность из-за того, что в разных операциях при одних и тех же исходных данных, результаты разные. То есть, когда мы складываем два отрицательных числа, получается число отрицательное, а когда умножаем - положительное.
Меням знак при переносе слагаемых через равенство
Часто дети просто забывают поменять знак. Но это не самое страшное. Намного хуже, когда они помнят, что нужно изменить знак, но меняют его не там:
Приведение подобных слагаемых или "Все смешалось в доме Облонских"
Многим детям так нравится эта операция, что они начинают приводить подобные слагаемые там, где их нет:
Всегда ли гипотенуза в два раза больше катета?
Тоже очень удобная теорема, которую стремятся применять даже в тех случаях, когда в треугольнике нет угла в 30 градусов.
Как можно об этом забыть?
По моим представлениям, теорема Пифагора самое легкая тема в программе восьмого класса. Но большинство детей именно о ней постоянно забывают. И тут начинается: "Единственная теорема, которая названа по имени ученого", "Речь идёт про катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника". Угадай мелодию, какое-то.