Рассмотрим динамику материальной точки массы m. Материальная точка — это тело достаточно малых размеров, так что его форма и внутреннее устройство не играют роли. Материальная точка характеризуется массой, а ее движение — зависимостью радиус-вектора r от времени t.
Можно рассматривать зависимость r(t) как кривую R(τ) в четырехмерном пространстве-времени, пока чисто формально. Это удобно. Так, равномерному прямолинейному движению отвечают прямые линии. Назовем кривую R(τ) 4-траекторией. С точки зрения физики, это динамика точки, описывающая как пространственную траекторию, так и скорость движения по ней. А геометрически — это кривая в 4-пространстве. Описываемая каким-то параметром τ, за который мы выберем длину кривой. Этот параметр с точки зрения физики есть собственное время точки. Оно не совпадает с t в общем случае и в классике это непонятно как интерпретировать.
У кривой есть единичный касательный вектор V, равный производной вектора R по параметру τ. Это четырехмерный вектор, который называется 4-скоростью, и три его компоненты содержат обычный вектор скорости, а еще одна компонента описывает замедление времени (но не будем пока об этом). Нам важно, что геометрический касательный единичный вектор — это физическая скорость. Проекция этого 4-вектора на трехмерное пространство может иметь одну и ту же длину (тогда скорость меняется по направлению, но не по величине), а может менять длину (разгон-торможение). Но длиннее, чем сам 4-вектор, быть не может.
Этот вектор показывает, в каком направлении и с какой скоростью движется точка "прямо сейчас".
Производная этого вектора 4-скорости есть 4-вектор A, именуемый 4-ускорением. Геометрически это вектор кривизны. Он показывает положение центра той окружности, по которой "прямо сейчас" вращается точка. Физически же это ускорение.
То есть ускорение — это кривизна. Уже интересно, правда? Никакой ОТО пока и близко нет. Правда, пока кривизна траектории, а не пространства-времени. Но идем дальше!
Возьмем наш единичный касательный вектор V, он же 4-скорость, и умножим на массу m материальной точки. С точки зрения геометрии — ничего особенного: тоже касательный вектор, только не единичный. Но физически это 4-импульс, или вектор энергии-импульса. В нем скрыт обычный трехмерный импульс И энергия точки. А это уже попадание в десятку: аромат научного волшебства. Энергии же изначально у нас нигде не было никакой.
Производная по времени от этого 4-импульса это, с одной стороны, вектор mA, а с другой это 4-сила F. Так что второй закон Ньютона mA=F с точки зрения геометрии есть просто обозначение. Физически же F содержит обычную силу, произвольной природы.
Получилось, что сила произвольной природы — это, по сути, кривизна 4-траектории, или, если перейти в три измерения, кривизна траектории плюс разгон-торможение.
Ладно, пусть сила будет гравитационной природы. По Ньютону, сила пропорциональна массе, и тогда 4-ускорение от массы точки не зависит. А это уже любопытно, так как у точки же ничего другого и нет. Все характеристики тела не играют роли, кроме массы — но и она не играет роли. Важно только положение и скорость точки, остальное определяется через них. Если любые два тела (но такие, чтобы их можно было считать точками) находятся в одном месте и имеют одну скорость, у них одна и та же траектория. Кривизна траектории определяется не телом, а ... чем? Самим пространством-временем.
А как иначе сказать, если траектория тела от тела не зависит? Первый закон Ньютона, по сути, гласит, что при отсутствии сил 4-траектория любого тела прямолинейна. То есть, имеет нулевой вектор кривизны. Но у того же Ньютона получается, что при наличии гравитационных сил этот вектор для любого тела не равен нулю, но от тела не зависит. А значит, он определяется не телом, а пространством.
Вот пример: вы можете ездить по кругу, но радиус круга и скорость движения по нему существенно связаны с массой транспортного средства. Тогда как при движении вдоль экватора (допустим, что это возможно) вы описываете окружность независимо от массы: просто потому, что поверхность Земли искривлена.
Можно взять ситуацию посередине между двумя крайностями: прохождением крутого поворота на большой скорости (масса критична для траектории) и кругосветным путешествием (масса на траекторию вообще не влияет). Возьмем обычную автомагистраль. Движение по ней в целом не зависит от массы автомобиля, верно ведь? На данном повороте и при движении с данной скоростью вы поворачиваете колеса одинаково и так, чтобы на автомобиль действовала ровно такая сила, которая повернет вектор скорости. Кривизна траектории связана с кривизной дороги, правда, через посредника в виде водителя. Но тем не менее: водитель просто обеспечивает пребывание на дороге, а вот изменение направления скорости связано с кривизной самой дороги — что в данном случае звучит банально.
Но так же обстоит дело и для гравитации! Раз траектория от массы тела (читай — от самого тела) не зависит, то кривизна траектории, она же ускорение, оно же сила — обусловлено кривизной самого пространства.
Вот и всё.