Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу рассказать Вам о братьях близнецах простых чисел - числах практичных или панаритмичных.
Впервые на математическом горизонте практичные числа появились в трудах итальянца Фибоначчи. Он заметил, что некоторые рациональные числа m/n (m<n) можно представить в виде египетских дробей таким образом, что в числителе буду только делители n. Например:
Итак, пусть n - практичное число. Тогда все натуральные числа, меньшие n, можно представить в виде суммы различных делителей числа n. Посмотрите:
Естественно, такой способ проверки "практичности" числа сопряжен с трудностями, поэтому были придуманы и более эффективные методы.
Прежде всего замечу, что все практичные числа (кроме 1) четные. Например, возьмем число 15. Его делители - 1,3,5,15, а, значит, в любом случае мы не сможем представить число 2 в виде их суммы.
Формула, которая позволяет проверять числа на "практичность" основывается на основной теореме арифметики, которая утверждает, что каждое число может быть представлено как произведение простых чисел :
Число раскладывается на простые множители. Первым множителем всегда должна быть 2 в любой степени. Дальше проверяется неравенство. Если оно выполняется для всех i не превосходящих k (в данном случае k=3 - три простых числа в разложении), то число является практичным.
Под σ(n) понимается функция делителей или дивизоров. Её результат равен сумме делителей числа, в т.ч. единицы и самого себя.
А как же выглядит представленный выше алгоритм для не практичных чисел? Естественно, не рассматриваем числа без двойки в каноническом разложении:
У практичных чисел есть очень много общего с простыми числами:
- Во-первых, каждое четное число можно представить в виде суммы двух практичных чисел (бинарная гипотеза Гольдбаха предполагает, что каждое число является суммой двух простых, но это не доказано).
- Во-вторых, доказано, что существует бесконечное много троек чисел вида x-2, x, x+2, являющихся практичными. Для простых чисел это утверждение носит название гипотезы о числах-близнецах и не доказано до сих пор.
- В-третьих, показано, что между квадратами последовательных чисел x и x+1 всегда находится практичное число. Для простых чисел это утверждение - всего лишь гипотеза Лежандра.
Итак, счёт 3:0 в пользу практичных чисел, что и следовало ожидать! Спасибо за внимание!
- Почитайте про теорему Жордана - абсолютно тривиальное, но сложнодоказуемое утверждение.