Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сразу же предупреждаю тех, кто хочет попытаться найти следующий член последовательности, представленной в заголовке: сделать это очень и очень не просто.
Подвести к решению этой занимательной задачи можно, рассказав про необычную средневековую японскую игру "гэндзи-ко", вдохновленную необычайной популярностью "Повести о Гэндзи" - одного из величайших произведений японской литературы, написанном в конце 10 века и повествующем о быте, амурных делах и развлечениях бастарда японского императора Хикару Гэндзи.
Игра заключается в том, что гостям салона дают понюхать 5 пачек благовоний (видимо, развлечение аристократов), а затем просят определить, сколько из них были одинаковыми, а сколько - разными. Так вот, все возможные решения (а их 52!) печатались в некоторых изданиях "Сказки о Гэндзи". Схематично их можно показать так:
Чувствуете, о чем идет речь? Если нет, давайте возьмем три пачки благовоний. Сколько способов существует, чтобы разделить их (не учитывая порядок). Простой подсчет подсказывает, что 5:
Для двух пачек существует два варианта: либо обе одинаковы, либо различны. Для одной пачки - вариант один. Для нуля пачек, как ни странно, этот вариант тоже один (вспомните теорию множеств). Теперь можно сформулировать определение:
- Числа 1,1,2,5,15,52... - составляют последовательность Белла и определяют количество неупорядоченных разбиений множества из n элементов.
Числа Белла естественным образом проявляются в комбинаторике (ведь её основная задача - подсчёт количества объектов) и в теории чисел. Например, пусть имеется число 420 = 2 х 5 х 6 х 7. Как думаете, сколько есть вариантов разложения его на множители?
Правильно, 15, и это соответствует четвертому числу Белла. Числа Белла растут очень быстро: для множества из 25 элементов имеется уже целых 4638590332229999353 разбиений!
Первые числа Белла - 203, 877, 4140, 21 147, 115 975, 678570, 4213597, 27644437,...
Существует, т.н. треугольная схема нахождения чисел Белла. Так что те, кто не хочет их запоминать, всегда могут воспроизвести их на бумаге:
Среди чисел Белла есть и рекордсмены. Например, число с индексом n=2841, примерно равное 9.30740105 × 10^6538 (точное значение, пожалуй, писать не буду) является самым большим, из найденных простых чисел Белла. До сих пор, впрочем, неизвестно, если ли среди простых чисел Белла наибольшее. На этом всё, спасибо за внимание!