Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу показать Вам необычайной красоты пример нахождения предела последовательности с использованием теоремы Штольца. Пример достаточно простой, в нём нет никакой запредельной математики. Поехали!
Итак, необходимо найти значение такого выражения:
Подход к решению, в целом, довольно стандартный, если под знаком предела присутствуют радикалы: необходимо прологарифмировать левую и правую часть выражения:
А вот теперь придется вспомнить теорему, доказанную австрийским математиком Отто Шольцем. Она гласит, что для двух положительных последовательностей, одна из которых монотонно возрастает справедливо условие:
В качестве последовательностей x и y возьмем числитель и знаменатель нашего примера:
Все условия теоремы Штольца для обоих последовательностей выполнены. Начинаем её активно применять.
Преобразования тривиальны. Единственное, что надо помнить, что (n+1)! = n! * (n+1). Что же мы видим в конце? Правильно, замечательный предел! Вернемся от логарифмов к исходному выражению и получим ответ:
Спасибо за внимание! Читайте про самый страшный интеграл в Вашей жизни, на решение которого придется потратить всего лишь десяток секунд!