Сегодня поговорим о математической статистике и теории вероятностей. Затронем немного один из типов задач по теме моментов.
О сути метода
Метод моментов — это метод оценки неизвестных параметров распределения случайной величины в математической статистике. Суть метода заключается в следующем. У нас есть некоторые реальные данные распределения. К этим данным мы подбираем теоретическое распределение. Под этим подразумевается некоторая функция плотности вероятностей. Естественно, эта функция имеет какие-то неизвестные (чаще всего от 1 до 3). И чтобы найти эти неизвестные, мы считаем числовые характеристики (моменты) теоретического распределения, то есть математическое ожидание, дисперсию. Затем мы сопоставляем посчитанные параметры по реальным данным с теоретическими параметрами для конкретного распределения. В итоге получаем систему уравнений относительно неизвестных параметров распределения. Решая систему, находим эти параметры.
Что же за характеристики, которые представляются этими моментами?
Моменты случайной величины — это некоторые функции, которые численно описывают характеристики распределения данной случайной величины. Существуют начальные, центральные, абсолютные, центрально абсолютные и факториальные моменты.
На практике чаще всего используются четыре первых момента.
Первый момент соответствует математическому ожиданию случайной величины, он показывает относительное расположение распределения на числовой прямой.
Второй момент соответствует дисперсии распределения, он показывает разброс вокруг среднего значения (то есть вокруг математического ожидания или первого момента).
Третий момент при нормализации (то есть момент, деленный на среднее квадратичное отклонение в кубе) является числовой характеристикой симметрии распределения. Еще называется коэффициентом асимметрии.
Четвертый момент соответствует коэффициенту эксцесса распределения, он показывает меру тяжести краев распределения или же меру остроты пика.
Моменты можно вычислить по общей формуле:
В большинстве задач используются первый и второй моменты. То есть математическое ожидание и дисперсия.
Немного абстрактный пример задачи
Случайная величина ξ равна сумме двух независимых случайных величин, имеющих показательное распределение с параметрами λ₁ и λ₂ соответственно. По наблюдениям случайной величины ξ оценить параметры λ₁ и λ₂ методом моментов в предположении что λ₁ > λ₂
Решение:
Допустим, у нас есть две случайные величины, распределенные по показательному закону:
Найдем закон распределения для их суммы: Z = X + Y.
Пусть f(x, y) - плотность совместного распределения случайных величин X и Y. Функция распределения случайной величины Z определяется соотношением:
Двойной интеграл можно записать в виде:
Так как плотность распределения :
то, дифференцируя внутренний интеграл по z как интеграл с переменным верхним пределом, получим формулу плотности распределения:
Если случайные величины X и Y не зависят друг от друга, то плотность совместного их распределения равна произведению плотностей распределения каждой, поэтому:
Получаем:
По свойствам математического ожидания:
Проверим напрямую:
Дисперсия случайной величины в показательном законе распределения определяется формулой
В случае, если речь идет о сумме двух случайных величин, то получаем:
Зная первый и второй моменты, мы можем найти параметры λ₁ и λ₂ из системы уравнений:
Показательное распределение применяют в теории массового обслуживания и надёжности, для моделирования времени безотказной работы, длительности безаварийной работы приборов и машин, демографии. Различные распределения изучаются на факультетах логистики и транспорта (в том числе и магистры вузов Европы) в контексте надежности распределительных систем.
Задачка для тренировки читателя
Случайная величина X – время работы лампы накаливания. Случайная величина подчинена показательному распределению. Определить вероятность того, что время работы лампы накаливания будет не меньше 800 часов, если среднее время работы лампы накаливания 400 часов.
Попробуйте решить на черновике и напишите свой ответ в комментарии.
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram