Здравствуйте, дорогие читатели. Предлагаю Вам сегодня разобрать интересное задание на решение неравенства. Подвох заключается в том, что нам нужно не только решить неравенство, но и определить какое количество его целых решений содержится в определенном промежутке.
Полный текст задания представлен на картинке:
Если Вы найдете способ проще, чем тот, который будет изложен ниже, то буду рада увидеть его в комментариях!
Сразу заметим, что в знаменателе всегда будет положительное число, т.к. там содержится квадрат выражения и знаменатель не может равняться нулю. Так как вся левая часть должна быть положительной, то числитель и знаменатель обязаны быть одинакового знака. Следовательно, мы можем записать ОДЗ и далее рассматривать только упрощенное неравенство: числитель больше нуля.
Теперь поработаем над упрощением числителя, для этого раскроем квадрат разности и приведем подобные:
Будем решать методом интервалов, поэтому, по теореме Виета находим корни квадратного уравнения:
Отмечаем эти точки на координатной прямой и расставляем знаки на интервалах. Помним при этом, что неравенство является строгим, поэтому точки выколоты:
Выбираем нужные нам промежутки (где числитель положительный) и записываем решение, учитывая ОДЗ:
Теперь переходим к самой интересной части: отбор целых корней, принадлежащих отрезку от -100 до 100.
Сначала выберем корни, от -100 до нуля. В этот диапазон буду входить целые числа от -100 до -5 включительно. Т.е. всего 96 чисел.
Теперь разберемся с корнями от 1 до 100. В этот отрезок входят все целые числа, кроме единицы и двадцати восьми, т.е. всего 98 чисел.
Итого:
Если Вам понравилась данная статья - пишите комментарии, ставьте лайки и подписывайтесь на канал, там Вас ждут разбора более 50 интересных задач!