Математика онлайн. Доступно о сложном. Серия «Нестандартные задачи»
Здравствуйте, уважаемые любители математики!
Упрощаем систему
Начнем с введения новых переменных.
Теперь имеем систему линейных алгебраических уравнений.
Решаем систему
Поскольку задача ориентирована на учеников старших классов, то методы линейной алгебры (например, способы Крамера, Гаусса) использовать не будем.
Вместо этого «поиграем» с уравнениями, будем их поочередно складывать и вычитать.
При этом можно заметить, что, если сложить первое и последнее уравнения и вычесть второе, то коэффициенты перед U и z обратятся в нуль.
Подставим теперь 1+a вместо V.
Несложно увидеть, что второе уравнение является суммой первого и третьего. Следовательно, его можно убрать из системы.
Перевод на язык линейной алгебры для тех, кто изучал высшую математику: «Уравнения СЛАУ линейно зависимы, ранг равен 2».
Из системы двух оставшихся уравнений без труда находим U и z. Для этого, например, вычитаем второе уравнение из первого.
Исследуем параметр
Поскольку U и V неотрицательны, получаем ограничение на параметр a.
Заканчиваем решение
Теперь находим x и y.
Таким образом при найденных ограничениях на параметр a система имеет бесконечно много решений.
При всех остальных значениях a система не имеет решений.
Не забудьте подписаться на канал, если
- Вам интересны вопросы, которые здесь разбираются;
- Вам могут потребоваться консультации по математике (подробнее здесь).
Все статьи серии «Нестандартные задачи»
О канале