Здравствуйте, дорогие читатели! Сегодня мы разберем олимпиадную математическую задачу об окружностях, с которой может справиться ученик 8-го класса.
Если Вы тем или иным образом связаны со школой, или просто вспомните свои школьные годы, то наверняка заметите одну особенность. Геометрия дается детям гораздо тяжелее, чем алгебра. Возможно, это связано с тем, что для решения геометрических задач нужно уметь мыслить на много шагов вперед. Может быть, проблемы с наглядным представлением. Буду рада, если вы поделитесь своими предположениями в комментариях.
Однако, именно геометрические задачи являются очень красивыми и интересными. И сейчас мы разберем одну из таких.
Задача. Красные окружности равны между собой. Зеленые окружности равны друг другу. Все остальные данные представлены на рисунке.
Ниже будет представлено мое решение. Свой вариант решения - предлагайте в комментариях.
Решение. Пусть A,B,C,D - центры красных окружностей.
Докажем, что прямые, попарно соединяющие центры соседних красных окружностей, проходят через точку их касания.
Через точку касания окружностей проводим касательную к ним - она общая. Затем в каждой окружности проводим к точке касания радиус. Эти отрезки будут перпендикулярны касательной. Если две прямые перпендикулярны третьей, то они либо параллельны, либо совпадают. Т.к. Есть общая точка, то параллельны быть не могут => это одна прямая.
Значит, мы можем попарно соединить центры соседних окружностей.
Заметим, что в таком случае, стороны AB, BC, CD, DA равняются двум радиусам красных окружностей:
Так как окружности на чертеже попарно касаются друг друга, то выполняются свойства горизонтальной и вертикальной осевой симметрии. Следовательно:
Из этого, мы можем сделать вывод, что четырехугольник ABCD является ромбом
Причем, меньшая диагональ ромба, BD, равняется двум радиусам красной окружности.
Заметим, что треугольники, в которые вписаны зеленые окружности, равны между собой. Рассмотрим один из этих треугольников, например ABD. Все его стороны равны между собой. Тогда, нам нужно найти радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник. Это делается довольно легко:
Если Вам понравилась статья - ставьте лайки и подписывайтесь на мой канал. А также предлагайте свое решение в комментариях.
Читайте еще одну интересную олимпиадную задачу об окружностях по ссылке ниже:
Геометрическая задача, которая решается проще, чем может показаться