Давайте рассмотрим задачу о самолетах, вылетающих в кругосветное путешествие противоположных направлениях. Что там будут показывать часы на борту и будут ли отличия от часов аэропорта?
Задача почти ничем не отличается от уже рассмотренной задачи, фактически, задачи о близнецах. Разница только в том, что в задаче о близнецах одни часы летели-летели, потом тормозили/ускорялись, и летели-летели обратно. А здесь вроде как никаких изменений в движении нет, самолет летит прямо, а возвращается на базу с измененными показаниями часов.
Давайте сначала вернемся к задаче о близнецах и вспомним два момента. Во-первых, времени-подобная линия в пространстве-времени тем длиннее, чем ближе к вертикальной, описывающей состояние покоя. Просто потому, что собственное время в квадрате есть c²dt²-v²dt², где v — скорость. Максимальная длина при данной протяженности координатного времени dt будет при нулевой скорости.
Это противоречит тому, что в евклидовой геометрии, где отрезок прямой всегда короче ломаной с теми же концами. Здесь наоборот.
Во-вторых, полезно посмотреть на диаграмму и проследить линии одновременности. При ускорении события, одновременные ускоренному наблюдателю, резко меняются. И это всё объясняет. Диаграмма чуть ниже, а сначала поясню.
Одновременные линии ортогональны (в смысле скалярного произведения в пространстве-времени, которое должно равняться нулю) линии времени. При этом если угловой коэффициент оси времени подвижной системы равен v, то у ортогональной линии он будет 1/v (а не -1/v, как на евклидовой плоскости).
Если скорость света принять за единицу, то траектория x=vt имеет угловой коэффициент v (только ось абсцисс нетипично торчит вверх). Линия одновременных событий имеет угловой коэффициент 1/v, то есть имеет вид x=t/v+k, где k любая константа. Константу эту определяет та точка, одновременные к которой мы хотим проследить. Скажем, точка (T, vT). Тогда уравнение одновременных к ней пространственно-временных точек будет x=t/v-T(1/v-v).
На рыжей линии все точки одновременны. Чем ближе v к единице, тем меньше угол (в обычном смысле) между линиями. Для маленьких v лучше переписать уравнение так: t=xv+T(1-v²). Если скорость совсем мала, то приблизительно имеет место классика: t~T. Одновременные события имеют одно и то же время.
Теперь берем самолет, который пусть летит на бреющем полете, чтобы не заморачиваться гравитационным замедлением времени — о нем отдельно. Он летит по окружности радиуса R (радиус Земли) с некоторой скоростью v. А движение по окружности всегда ускоренное, ведь скорость постоянно меняет свое направление. В итоге часы самолета с точки зрения аэропорта будут отставать, и летчик вернется моложе, чем его близнец-диспетчер. Как там распределено ускорение — неважно, смысл совершенно тот же, что в задаче о близнецах.
Можно еще так посмотреть: возьмем ось и будем следить за расстоянием между аэропортом и самолетом вдоль этой оси. Самолет отдаляется, потом приближается, потом отдаляется в другую сторону, и опять приближается.
Ладно, а если два самолета?
А какая разница? Из-за симметрии их часы будут показывать одно и то же время, причем меньше, чем в аэропорту.
Как быть с тем, что ускорение эквивалентно гравитации, а в гравитационном поле время замедляется? У вращающегося тела не замедляется из-за ускорения, только из-за скорости. Это тонкий вопрос, который мы обсудим в одной из последующих заметок.
А как перейти в систему отсчета самолета, чтобы и аэропорт, и другой самолет двигались, а он считался неподвижным? Ну, можно, но надо вводить гравитационное поле, в котором вот так вот хитро будет "падать" аэропорт и другой самолет. И оно будет в точности таким, чтобы все инвариантные величины (в том числе и разница часов, сверенных при встрече) сохранили свои значения. Естественно.