Люблю такие задачи. Смотришь и знаешь, как ее решить, но понимаешь, что этот путь утомительный. Тогда внутри возникает ощущение, что есть более простой вариант, нужно только его увидеть.
Постановка задачи
К двум окружностям с известными радиусами проведена общая внутренняя касательная. Дано расстояние между центрами окружностей - АВ. Нужно найти длину отрезка JI.
Первый путь. Предстоит много считать.
Рассмотрим треугольники АIH и BJH. Углы I и J прямые, так как AI и BJ радиусы, проведенные в точку касания. Углы AHI и BHJ вертикальные, а значит равны. Поэтому треугольники подобны и можно записать равенство отношений сторон.
Решив полученное уравнение, найдем ВН, затем АН. После по теореме Пифагора сможем найти IH и JH, а значит вычислить длину IJ.
Второй путь.
Совершим параллельный перенос точки J на вектор IA, получим точку J'. Или отложим отрезок JJ' = АI на прямой BJ за точку J.
Угол J' прямой, так как AIJJ' - прямоугольник (IA равен и параллелен JJ' по построению, угол I прямой). Значит треугольник AJ'B прямоугольный. Гипотенуза известна, катет BJ' равен сумме радиусов окружностей. Применив теорему Пифагора найдем катет AJ'. Это и будет искомое расстояние. Опять же, потому что AIJJ' - прямоугольник.
Как видите, количество вычислений значительно сокращается и решение становится проще. Возникает только один вопрос, как понять, что задача имеет более простое решение и можно ли утверждать, что любая задача имеет более простое решение?
В одном можно быть уверенным, почти любая геометрическая задача имеет несколько решений. Существуют "упражнения" - задачи на применение одной теоремы. Например, найти площадь фигуры, если все необходимые длины известны. При большом желании и в них можно найти другой путь. Но на поиск придётся потратить много времени.
В остальных случаях, альтернативные решения существуют. Их поиск это особый вид деятельности, которым полезно заниматься с детьми. Есть мнение, что решить одну задачу пятью способами полезнее, чем решить пять различных задач. Это как поиск оптимального маршрута между двумя пунктами. Если вы нашли один вариант и используете только его, вы не видите тех возможностей, которые есть в других вариантах. Конечно, может оказаться так, что первый путь был наилучшим для вас. Но понять это можно только в сравнении. Причем помимо объективных критериев, существуют еще и субъективные. Кто-то может предпочесть один способ другому, потому что для него он проще и понятнее. Отсюда возникают весьма замысловатые решения, которые, по каким-то неведомым причинам, ребенку больше нравятся. Так уж работает его мозг. Иногда замысловатый, ветвистый путь выглядит притягательней прямого.