Здравствуйте, дорогие читатели моего канала! Ни для кого не секрет, что тригонометрические уравнения вызывают у выпускников большое количество затруднений. Сегодня мы разберем одно тригонометрическое уравнение из 11-го номера демонстрационного варианта ГВЭ-2021.
Текст задания представлен на картинке:
Выпишем уравнение и сделаем так, чтобы основания и слева, и справа были одинаковыми:
Так как основания степеней равны, то мы можем приравнять и показатели:
На данном этапе, у многих возникает желание сократить левую и правую части уравнения на cosx. Однако, этого делать не стоит, так как мы можем потерять корень, при котором cosx=0. Удобнее всего, перенести все в левую сторону и вынести общий множитель за скобки:
Произведение равно нулю в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю, следовательно, нам остается решить два простейших тригонометрических уравнения:
Теперь нужно только выбрать корни уравнения, принадлежащие определенному отрезку. Можно, использовать единичную окружность, но, я хочу сегодня разобрать другой способ.
Рассмотрим первый корень уравнения. Мы знаем, что k - целое число. Следовательно, отобрать корни можно простым перебором. Подставим вместо k нуль и проверим, будет ли этот корень принадлежать нашему отрезку:
Видим, что этот корень не принадлежит отрезку. Он больше, чем нужно. Следовательно, следующее значение k нужно брать меньшим нуля. Заметим также, что корни будут чередоваться через П. Т.е. корни этого уравнения:
Отберем те корни, которые входят в нужный отрезок:
Теперь, аналогичную процедуру повторим со вторым уравнением. Заметим, что там корни будут чередоваться через 2П (т.к. x=-П/3+2Пn). Посчитаем корень при х=0. Запишем последовательность корней и выберем нужные:
Среди этих корней ни один не входит в нужный промежуток. Рассмотрим еще одно решение второго уравнения:
Таким образом, получился следующий ответ на задание:
Если Вам понравилась статья - подписывайтесь на мой канал, ставьте лайки и пишите комментарии.
На канале уже есть много интересных статей, читайте лучшие из них:
Разбор необычного и интересного задания по теории вероятностей из ГВЭ
Интересная производная
Теорема Фалеса. Как поделить любой отрезок на произвольное число равных частей?