Здравствуйте, дорогие читатели, подписчики и гости канала. Рассмотрим решение 25 задачи ОГЭ по геометрии.
Текст задачи
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=5 и CD=17 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём угол AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника
Решение:
Почти любую задачу по геометрии нужно решать с того, что нужно найти. Запишем формулу для нахождения радиуса описанной окружности через теорему синусов:
Теорема синусов применима для вписанного треугольника.
Для этого, в окружности проведем хорду АF параллельно диагонали BD.
Соединим точку F с точками D и С и получим треугольник FCD вписанный в окружность и вписанный четырехугольник ABDF - равнобедренная трапеция, т.к. AF||BD. Значит AB=FD.
Чтобы найти радиус описанной окружности, надо рассмотреть треугольник FCD и найти в нем отрезок CF и угол FDC.
1) Найдем угол FDC:
2) Осталось найти сторону CF. Воспользуемся теоремой косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
3) Вернемся в начало задачи, и найдем R.
Пишите в комментариях, если знаете более рациональный способ решения.
Спасибо, что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог.