Даже когда решений бесконечно много или несовместна, а метод Крамера не работает от слова совсем. Сегодня мы с Вами решим систему линейных уравнений, используя метод Гаусса. Поехали!
Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений. Наиболее удобно (и так обычно делают при изучении ЛУ в высшей математике) записывать коэффициенты в матричном виде:
Теперь наша задача эквивалентными преобразованиями (исключением одинаковых строк, умножением строк на число, сложением строк) матрицы добиваться исключения переменных из строк, начиная с левого верхнего угла. Например, умножаем первую строку на 2 и складываем со второй, умножаем на три и складываем с третьей. Первую строку оставляем без изменений:
Теперь дальше смотрим на второй столбец и вторую и третью строки. Чтобы исключить вторую переменную из второй строки надо умножить её на 8, третью строку умножить на (-3) и всё полученное добро сложить:
Последняя матрица имеет т.н. ступенчатый вид, значит преобразования закончены. Отметив "ступеньку" получим базисные переменные, которые в итоговом решении должны быть выражены через свободные. Записываем систему уравнений по матрице:
Третью переменную просто выражаем из третьего уравнения. Аналогичные преобразований делаем со второй и третьей строкой, просто подставляя уже известные нам переменные:
Получен ответ в общем виде. Однако, часто бывает необходимо найти в частном виде. Для этого необходимо задаться конкретным набором переменных x4 и x5. Например, если они равны 0, то система имеет решение (1,0,2,0,0).
Кстати, во время решения таких систем уравнений может оказаться, что в одной из строк все нули. Впрочем, это совсем другая история! Спасибо за внимание!