Сегодня разберем одно из сложных заданий ОГЭ на знание функций и их свойств. Для решения задания нужно будет знать, как график параболы зависит от ее коэффициентов, а также уметь решать уравнения графическим методом.
Мы уже разбирали другие задания из 22-го номера ОГЭ, вы можете ознакомиться с ними по следующим ссылкам:
Задание №22 из ОГЭ. Как найти точку пересечения двух прямых, если нет уравнения?
Разбор №22 из пробного ОГЭ по математике
Текст сегодняшнего задания представлен на картинке:
Теперь, удобнее всего, превратить это уравнение во что-то более простое. Для этого, сделаем так, чтобы и слева и справа от знака равно, располагались функции, графики которых строить довольно легко. Чтобы это осуществить, перенесем модуль в правую сторону:
Теперь, наше задание свелось к тому, чтобы найти количество точек пересечения графиков двух функций:
График модуля строить довольно легко. Он выглядит так:
А вот с квадратичной функцией немного сложнее, т.к. она зависит от параметра а. Исследуем ее коэффициенты и опишем, как они влияют на график:
- Коэффициент при старшей степени равен единице, т.е. он больше нуля. Следовательно, ветви направлены вверх.
- Коэффициент при переменной х. Такого слагаемого в нашем случае вообще нет. Т.е. коэффициент при нем равняется нулю. Это значит, что парабола не смещена ни влево ни вправо. Ее центр лежит точно посередине, на оси ординат.
- Свободный член. В данном случае, это и есть наш параметр. Он отвечает за то, насколько выше или ниже оси абсцисс лежит вершина параболы.
Таким образом, в зависимости от параметра а, мы будем получать семейство парабол такого вида:
Посмотрим на общий чертеж обеих функций: семейства парабол и модуля:
Этот чертеж можно описать следующим так: при достаточно больших значениях параметра а, парабола лежит выше графика модуля и не имеет с ним общих точек. При уменьшении параметра, парабола смещается ниже и у графиков появляются точки пересечения.
Тогда, по мере того, как вершина параболы будет снижаться, возникнут такие случаи взаимного расположения графиков:
Значение параметра а в двух последних случаях легко найти. Т.к. вершина параболы, в четвертом случае, должна находиться в начале координат, то а=0. Следовательно, для 5-го графика - a<0.
С первыми тремя случаями все не так очевидно. Нам нужно понять, в каком случае ветви параболы касаются графика модуля? Так как и модуль и парабола, симметричны, относительно оси ординат, то будем рассматривать только правую половину графиков:
Для этого случая, значения иксов - неотрицательные, тогда после раскрытия модуля, знак подмодульного выражения не меняется. Т.к. на графике - одна общая точки, то, получившееся квадратное уравнение будет иметь один корень:
Квадратное уравнение имеет один корень только в том случае, когда его дискриминант равен нулю. Вычислим дискриминант, приравняем его к нулю и найдем значение параметра а:
Таким образом, при а=1/4 уравнение имеет два корня. Если а>1/4, то уравнение не имеет корней. Если a принадлежит интервалу от 0 до 1/4 - то уравнение имеет 4 корня. Если а<0 - уравнение имеет 2 корня.
Если Вам понравилась статья - ставьте лайки и подписывайтесь на канал.
Помните - ОГЭ близко. Чтобы лучше к нему подготовиться - читайте разборы других заданий на моем канале.